Convexité et dérivation

📋 Plan du Cours

1. Dérivée et variations
2. Dérivée seconde et convexité
3. Point d’inflexion et tangentes
4. Règles de dérivation
5. Méthodes d’étude

📖 1. Dérivée et variations

★ À maîtriser

📌 Si f’(x)>0 sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle.

📌 Si f’(x)<0 sur un intervalle, alors f est décroissante sur cet intervalle.

📐 Formule - La tangente à la courbe de f au point d’abscisse a a pour équation $y=f’(a)(x-a)+f(a)$.

Compléments

• La condition f’(x)=0 peut correspondre à un extremum local.

💡 Astuce mémo

f’ positive : montée ; f’ négative : descente

📖 2. Dérivée seconde et convexité

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée seconde : La dérivée de f’, soit $f’’=(f’)’$.

★ À maîtriser

📌 Si f est deux fois dérivable et si $f’’(x)\geq0$, alors f est convexe sur l’intervalle considéré.

📌 Si $f’’(x)\leq0$, alors f est concave sur l’intervalle considéré.

Compléments

📌 Une fonction convexe a une dérivée f’ croissante.

• La fonction f(x)=x^2 est convexe sur ℝ car f’’(x)=2>0.

📌 Une fonction concave a une dérivée f’ décroissante.

• La fonction f(x)=-x^2 est concave sur ℝ car f’’(x)=-2<0.

💡 Astuce mémo

f’’ positive : courbe vers le haut ; f’’ négative : courbe vers le bas