QCM : Racines carrées et ensembles de nombres (16 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Comment appelle-t-on le symbole √ utilisé pour noter une racine carrée ?

Un radical
Un coefficient
Un exposant
Un facteur

Un radical

Explication

Le symbole √ porte le nom de radical et sert à indiquer l’extraction d’une racine carrée. Un exposant, un coefficient et un facteur désignent d’autres éléments d’une expression mathématique.

2. Laquelle de ces listes contient uniquement des carrés parfaits ?

1, 4, 9 et 16
2, 4, 8 et 16
4, 6, 12 et 16
1, 3, 9 et 12

1, 4, 9 et 16

Explication

Les nombres 1, 4, 9 et 16 sont respectivement les carrés de 1, 2, 3 et 4. Les autres listes contiennent au moins un nombre qui n’est pas le carré d’un entier.

3. Pour a=7a=7, quelle valeur prend l’expression (a)2(\sqrt{a})^2 ?

49
√7
14
7

7

Explication

La propriété (a)2=a(\sqrt{a})^2=a donne directement la valeur 7 lorsque a=7a=7. La valeur 49 correspondrait à 727^2, et non au carré de la racine carrée de 7.

4. Quelle expression représente correctement (−8)2\sqrt{(-8)^2} ?

−8
8
64
√8

8

Explication

La règle a2=∣a∣\sqrt{a^2}=|a| transforme cette expression en ∣−8∣=8|-8|=8. Le résultat d’une racine carrée réelle est positif ou nul, ce qui écarte −8.

5. Quelle égalité permet de transformer 6×10\sqrt{6\times 10} en un produit de racines carrées ?

6−10\sqrt{6-10}
6+10\sqrt{6}+\sqrt{10}
6×10\sqrt{6}\times\sqrt{10}
610\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}}

$$\sqrt{6}\times\sqrt{10}$$

Explication

Pour des nombres positifs, la racine carrée d’un produit est le produit des racines carrées, donc 6×10=6×10\sqrt{6\times10}=\sqrt6\times\sqrt{10}. Une somme, une différence ou un quotient ne correspondent pas à cette propriété.

6. Comment réécrire 254\sqrt{\frac{25}{4}} à l’aide des racines du numérateur et du dénominateur ?

254\frac{\sqrt{25}}{4}
254\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}
425\sqrt{\frac{4}{25}}
25×4\sqrt{25}\times\sqrt{4}

$$\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$$

Explication

La propriété du quotient donne ab=ab\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b} lorsque bb est positif et non nul. Les autres expressions modifient la structure du quotient ou inversent ses termes.

7. Quelle forme simplifiée obtient-on en extrayant le carré parfait de 75\sqrt{75} ?

353\sqrt{5}
535\sqrt{3}
15515\sqrt{5}
25325\sqrt{3}

$$5\sqrt{3}$$

Explication

Comme 75=25×375=25\times3, on obtient 75=25×3=53\sqrt{75}=\sqrt{25}\times\sqrt3=5\sqrt3. L’expression 353\sqrt5 correspond à 45\sqrt{45}, pas à 75\sqrt{75}.

8. Quelle expression doit-on utiliser pour rationaliser le dénominateur de 21−2\frac{2}{1-\sqrt{2}} ?

L’opposé du terme constant −1+2-1+\sqrt{2}
Le même binôme 1−21-\sqrt{2}
Le conjugué 1+21+\sqrt{2}
Le radical isolé 2\sqrt{2}

Le conjugué $$1+\sqrt{2}$$

Explication

Pour un binôme contenant un radical au dénominateur, on multiplie par son conjugué afin de faire apparaître une différence de carrés. Le même binôme ne produit pas cette simplification recherchée.

9. Après rationalisation, quelle forme obtient-on pour 35\frac{3}{\sqrt{5}} ?

355\frac{3}{5\sqrt{5}}
355\frac{3\sqrt{5}}{5}
155\frac{15}{\sqrt{5}}
3525\frac{3\sqrt{5}}{25}

$$\frac{3\sqrt{5}}{5}$$

Explication

En multipliant le numérateur et le dénominateur par 5\sqrt{5}, on obtient 355\frac{3\sqrt{5}}{5}. La forme 155\frac{15}{\sqrt{5}} conserve encore un radical au dénominateur.

10. Quel ensemble contient les entiers positifs ainsi que zéro, sans contenir les entiers négatifs ?

L’ensemble QQ des nombres rationnels
L’ensemble DD des nombres décimaux
L’ensemble ZZ des entiers relatifs
L’ensemble NN des entiers naturels

L’ensemble $$N$$ des entiers naturels

Explication

L’ensemble NN regroupe zéro et les entiers positifs. L’ensemble ZZ est plus vaste, car il comprend aussi les entiers négatifs.

11. Laquelle de ces écritures caractérise un nombre décimal ?

ab\frac{a}{b} avec a∈Na\in N et b=0b=0
a10n\frac{a}{10^n} avec a∈Za\in Z et n∈Nn\in N
aba\sqrt{b} avec a∈Za\in Z et b∈Nb\in N
a3n\frac{a}{3^n} avec a∈Za\in Z et n∈Zn\in Z

$$\frac{a}{10^n}$$ avec $$a\in Z$$ et $$n\in N$$

Explication

Un nombre décimal peut s’écrire sous la forme a10n\frac{a}{10^n}, où aa est un entier relatif et nn un entier naturel. Une fraction dont le dénominateur vaut zéro n’est pas définie.

12. Comment peut-on interpréter géométriquement l’ensemble RR des nombres réels ?

Comme l’ensemble des abscisses des points d’une droite graduée
Comme l’ensemble des coordonnées entières d’un plan quadrillé
Comme l’ensemble des longueurs positives mesurées depuis l’origine
Comme l’ensemble des points situés à droite de l’origine

Comme l’ensemble des abscisses des points d’une droite graduée

Explication

Les nombres réels correspondent aux abscisses de tous les points d’une droite graduée. Cette interprétation inclut les nombres positifs, négatifs, rationnels et irrationnels.

13. Quelle chaîne d’inclusions décrit correctement les ensembles usuels de nombres ?

N⊂Z⊂D⊂Q⊂RN\subset Z\subset D\subset Q\subset R
R⊂Q⊂D⊂Z⊂NR\subset Q\subset D\subset Z\subset N
N⊂D⊂Z⊂R⊂QN\subset D\subset Z\subset R\subset Q
Z⊂N⊂Q⊂D⊂RZ\subset N\subset Q\subset D\subset R

$$N\subset Z\subset D\subset Q\subset R$$

Explication

Les inclusions correctes sont N⊂Z⊂D⊂Q⊂RN\subset Z\subset D\subset Q\subset R. Chaque ensemble est ainsi contenu dans le suivant, des naturels jusqu’aux réels.

14. Pour déterminer la nature d’un nombre, quelle démarche faut-il suivre ?

Chercher le plus grand ensemble parmi N,Z,D,Q,RN,Z,D,Q,R auquel il appartient
Chercher le plus petit ensemble parmi N,Z,D,Q,RN,Z,D,Q,R auquel il appartient
Vérifier d’abord s’il possède une écriture décimale infinie
Comparer sa valeur uniquement avec les entiers naturels

Chercher le plus petit ensemble parmi $$N,Z,D,Q,R$$ auquel il appartient

Explication

La nature d’un nombre est déterminée par le plus petit ensemble de la chaîne N,Z,D,Q,RN,Z,D,Q,R qui le contient. Choisir le plus grand ensemble donnerait une classification correcte mais moins précise.

15. Dans une démonstration par l’absurde que 13\frac{1}{3} n’est pas décimal, quelle contradiction obtient-on ?

L’égalité 10n=a+310^n=a+3, impossible car aa doit être nul
L’égalité 3a=13a=1, impossible car aa doit être un entier naturel
L’égalité 10n=3a10^n=3a, impossible car 10n10^n n’est pas multiple de 3
L’égalité 3n=10a3^n=10a, impossible car 3n3^n est toujours négatif

L’égalité $$10^n=3a$$, impossible car $$10^n$$ n’est pas multiple de 3

Explication

En supposant 13=a10n\frac{1}{3}=\frac{a}{10^n}, on obtient 10n=3a10^n=3a, ce qui exigerait que 10n10^n soit divisible par 3. Or aucune puissance de 10 n’est un multiple de 3.

16. Quelle hypothèse permet de commencer une preuve par l’absurde de l’irrationalité de 2\sqrt{2} ?

Supposer que 2=pq\sqrt{2}=\frac{p}{q} avec pp et qq des nombres décimaux finis
Supposer que 2=pq\sqrt{2}=\frac{p}{q} avec pp et qq tous deux pairs
Supposer que 2=pq\sqrt{2}=\frac{p}{q} avec q=0q=0
Supposer que 2=pq\sqrt{2}=\frac{p}{q} avec pp et qq premiers entre eux

Supposer que $$\sqrt{2}=\frac{p}{q}$$ avec $$p$$ et $$q$$ premiers entre eux

Explication

La preuve suppose que 2\sqrt{2} est rationnel, donc représentable par une fraction irréductible pq\frac{p}{q}. L’égalité obtenue conduit alors à une divisibilité commune de pp et qq, en contradiction avec leur irréductibilité.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 10 flashcards sur Racines carrées et ensembles de nombres.

Qu'est-ce que la racine carrée d'un nombre positif ou nul ?

L'unique nombre positif dont le carré est égal à ce nombre.

Quelle est la valeur de (a)2(\sqrt{a})^2 pour un nombre positif ou nul a ?

Elle est égale à a.

Que vaut a2\sqrt{a^2} pour un nombre réel a ?

Elle vaut la valeur absolue de a.

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