Fiche de révision : Racines carrées et simplification

📋 Plan du Cours

1. Définition et domaine des racines
2. Propriétés et opérations
3. Extraction des carrés parfaits
4. Simplification et développements

📖 1. Définition et domaine des racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : Nombre toujours positif dont le carré est a.

★ À maîtriser

📌 La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas dans les nombres étudiés ici, car le carré d’un nombre est toujours positif.

Compléments

• Les exemples fondamentaux sont $\sqrt{0}=0$, $\sqrt{1}=1$, $\sqrt{2}\approx1{,}4142$ et $\sqrt{3}\approx1{,}732$.

• Les racines carrées de carrés parfaits comprennent $\sqrt{4}=2$, $\sqrt{9}=3$, $\sqrt{16}=4$, $\sqrt{25}=5$, $\sqrt{36}=6$, $\sqrt{49}=7$, $\sqrt{64}=8$, $\sqrt{81}=9$, $\sqrt{100}=10$, $\sqrt{121}=11$, $\sqrt{144}=12$ et $\sqrt{169}=13$.

💡 Astuce mémo

Carré toujours positif, racine négative impossible

📖 2. Propriétés et opérations

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un nombre a positif, $\sqrt{a^2}=a$.

📐 Formule — Pour des nombres positifs a et b, le produit des racines vérifie $\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{a\times b}$.

📐 Formule — Pour des nombres positifs a et b avec b non nul, le quotient des racines vérifie $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$.

📌 Les identités $\sqrt{a+b}\ne\sqrt{a}+\sqrt{b}$ et $\sqrt{a-b}\ne\sqrt{a}-\sqrt{b}$ montrent que la racine carrée ne se distribue ni sur une somme ni sur une différence.

Compléments

📐 Formule — Pour un nombre positif a, $\left(\sqrt{a}\right)^2=a$.

• Les simplifications données sont $\sqrt{32}\times\sqrt{2}=8$, $\sqrt{3}\times\sqrt{36}\times\sqrt{3}=18$, $\frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}}=7$ et $(4\sqrt{5})^2=80$.

💡 Astuce mémo

Produit et quotient se séparent, somme et différence ne se séparent pas

📖 3. Extraction des carrés parfaits

★ À maîtriser

• Pour écrire une racine sous la forme a√b avec b minimal, on fait apparaître un carré parfait sous la racine, on extrait sa racine, puis on recommence jusqu’à ce que le radicand restant ne contienne plus de carré parfait.

• L’extraction de $\sqrt{72}$ donne $\sqrt{9}\times\sqrt{8}=3\sqrt{8}=3\sqrt{4}\times\sqrt{2}=6\sqrt{2}$.

Compléments

📌 La forme recherchée d’une racine extraite est a√b, où a et b sont des entiers et où b est le plus petit possible.

💡 Astuce mémo

Repérer, extraire, simplifier, arrêter

📖 4. Simplification et développements

★ À maîtriser

• Pour simplifier une expression contenant des racines carrées, on extrait d’abord les carrés parfaits afin de faire apparaître des racines d’une même famille, puis on regroupe les termes de cette famille.

📌 Deux termes peuvent être réduits ensemble lorsqu’ils contiennent la même racine carrée, comme 4√3, −2√3 et 6√3, mais des familles différentes comme √2 et √5 restent séparées.

📌 Pour développer une expression contenant des racines carrées, on applique les règles classiques de développement algébrique en traitant les racines comme des inconnues.

Compléments

• La réduction de $4\sqrt{3}-2\sqrt{3}+6\sqrt{3}$ donne $8\sqrt{3}$.

• Après extraction des carrés parfaits, $\sqrt{12}+7\sqrt{3}-\sqrt{27}=2\sqrt{3}+7\sqrt{3}-3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$.

• Les développements proposés sont $(\sqrt{3}-4)^2$, $(3+\sqrt{5})^2$, $(\sqrt{2}-\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{5})$ et $(3+\sqrt{3})(4-2\sqrt{3})$.

💡 Astuce mémo

Des racines déguisées rejoignent leur même famille