Fiche de révision : Logique, ensembles et inégalités

📋 Plan du Cours

1. Quantificateurs et propositions logiques
2. Connecteurs et implications
3. Ensembles et opérations
4. Nombres et produit cartésien
5. Méthodes de raisonnement
6. Ordre et intervalles réels
7. Bornes et extrema
8. Approximations décimales
9. Valeur absolue et distances
10. Résolution des inégalités

📖 1. Quantificateurs et propositions logiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantificateurs : Permettent de formaliser les énoncés mathématiques, avec ∀ pour « pour tout », ∃ pour « il existe » et ∃! pour « il existe un unique ».
• Négation : Est l’assertion vraie lorsque P est fausse et fausse lorsque P est vraie.

📝 Points essentiels

📌 L’ordre des quantificateurs modifie le sens d’un énoncé : ∀x∈R, ∃y∈R, x<y est vraie, alors que ∃y∈R, ∀x∈R, x<y est fausse.

💡 Astuce mémo

∀ signifie « pour tout », ∃ signifie « il existe ».

📖 2. Connecteurs et implications

🔑 Notions clés & Définitions

• Contraposée : De l’implication A⇒B est l’implication non B⇒non A, qui lui est équivalente.

📝 Points essentiels

📌 La conjonction A et B est vraie seulement si A et B sont vraies, tandis que la disjonction A ou B est vraie si au moins l’une des deux est vraie.

📌 L’implication A⇒B est fausse seulement lorsque A est vraie et B est fausse, alors que l’équivalence A⇔B signifie que A⇒B et B⇒A sont toutes deux vraies.

💡 Astuce mémo

A ⇒ B n’est pas A ⇔ B : l’implication n’est pas réversible sans preuve.

📖 3. Ensembles et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Inclusion : Lorsque tous les éléments de F appartiennent à E.

📝 Points essentiels

📌 L’intersection E∩F contient les éléments appartenant à E et à F, tandis que la réunion E∪F contient les éléments appartenant à E ou à F, éventuellement aux deux.

📌 Les lois de Morgan donnent A∪B = Ā∩B̄ et A∩B = Ā∪B̄ pour deux parties A et B d’un ensemble de référence.

💡 Astuce mémo

∩ signifie « et », tandis que ∪ signifie « ou ».

📖 4. Nombres et produit cartésien

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit cartésien : Ensemble des couples (x,y) tels que x∈A et y∈B.

📝 Points essentiels

• Les ensembles usuels sont:
  • N pour les entiers naturels
  • Z pour les entiers relatifs
  • D pour les nombres décimaux
  • Q pour les rationnels
  • R pour les réels

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

📖 5. Méthodes de raisonnement

📝 Points essentiels

• Un raisonnement direct démontre A⇒B en supposant A puis en déduisant B.

• Un raisonnement par l’absurde suppose la négation de la proposition recherchée puis conduit à une contradiction.

📌 Pour prouver l’égalité de deux ensembles A et B, il suffit de montrer A⊂B puis B⊂A.

💡 Astuce mémo

Direct, contraposée, absurde, double inclusion.

📖 6. Ordre et intervalles réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation d’ordre : Est une relation d’ordre sur R car elle est réflexive, transitive et antisymétrique.
• Intervalle : Partie telle que tout réel compris entre deux de ses éléments appartient aussi à cette partie.

📝 Points essentiels

📌 Si x≤y, multiplier par un nombre positif conserve l’inégalité, tandis que multiplier par un nombre négatif la renverse.

💡 Astuce mémo

Un majorant peut ne pas appartenir à l’ensemble, contrairement à un maximum.

📖 7. Bornes et extrema

📝 Points essentiels

📌 Un majorant M d’un ensemble E vérifie x≤M pour tout x∈E, tandis qu’un maximum est un majorant qui appartient à E.

📌 La borne supérieure est le plus petit des majorants, tandis que la borne inférieure est le plus grand des minorants.

💡 Astuce mémo

Le supremum est le meilleur majorant, le maximum est un élément de l’ensemble.

📖 8. Approximations décimales

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie entière : Est le plus grand entier inférieur ou égal à x, donc ⌊x⌋≤x<⌊x⌋+1.
• Valeur décimale approchée : À la précision 10^-n, la valeur décimale par défaut de x est ⌊10^n x⌋/10^n et la valeur par excès est (⌊10^n x⌋+1)/10^n.

💡 Astuce mémo

La partie entière est toujours inférieure ou égale au réel.

📖 9. Valeur absolue et distances

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Vaut x si x≥0 et −x si x≤0, et représente la distance de x à zéro.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour tous réels x et y, l’inégalité triangulaire est $|x+y|\leq |x|+|y|$.

📌 Pour a≥0, l’inégalité |x|≤a équivaut à −a≤x≤a, tandis que |x|>a équivaut à x<−a ou x>a.

💡 Astuce mémo

Sur la droite réelle, |x−a| mesure la distance entre x et a.

📖 10. Résolution des inégalités

📝 Points essentiels

• Pour résoudre une inégalité factorisée, on repère les zéros des facteurs, détermine leur signe sur chaque intervalle, puis lit le signe de l’expression dans un tableau.

📐 Formule — Pour le trinôme $ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Un trinôme ax²+bx+c est du signe de a si Δ<0, s’annule en −b/(2a) si Δ=0, et est du signe de a à l’extérieur de ses deux racines si Δ>0.

💡 Astuce mémo

Factoriser, repérer les zéros, construire le tableau de signes, conclure.

📊 Tableaux de synthèse

Notions de borne et d’extrémum