Fiche de révision : Radioactivité et dosimétrie

📋 Plan du Cours

1. Ondes et énergie du noyau
2. Transformations radioactives
3. Cinétique et filiation radioactive
4. Datation au carbone 14
5. Interactions et pénétration des rayonnements
6. Atténuation et grandeurs dosimétriques
7. Dosimétrie des expositions
8. Détection et statistique de comptage

📖 1. Ondes et énergie du noyau

★ À maîtriser

📐 Formule - L’indice de réfraction d’un milieu transparent vérifie $n=\frac{c}{v}>1$, où $c$ est la vitesse de la lumière dans le vide et $v$ la vitesse de propagation dans le milieu.

📐 Formule - La période, la fréquence et la longueur d’onde sont liées par $T=\frac{1}{f}=\frac{1}{\nu}$ et $\lambda=\frac{c}{\nu}=cT$.

📐 Formule - L’énergie d’un photon est $E=h\nu=\frac{hc}{\lambda}$, où $h$ est la constante de Planck.

📐 Formule - Le défaut de masse d’un noyau est $\Delta m=M-Zm_p-Nm_n$, où $M$ est la masse du noyau, $m_p$ celle du proton et $m_n$ celle du neutron.

📐 Formule - L’énergie de liaison totale et l’énergie de liaison moyenne par nucléon sont $B=\Delta mc^2=\Delta m\times931{,}5$ et $\frac{B}{A}=\frac{\Delta mc^2}{A}$.

Compléments

📐 Formule - Le rayon d’un noyau de nombre de nucléons $A$ vérifie $R=R_0A^{1/3}$, avec $R_0$ compris entre 1,2 et 1,5 fm.

📐 Formule - Le volume d’un noyau de rayon $R$ et de nombre de nucléons $A$ vérifie $V=\frac{4}{3}\pi R_0^3A$.

📐 Formule - La relation d’Einstein entre l’énergie et la masse est $E=mc^2$ ; à énergie plus élevée correspond une masse plus élevée. Pour un même ensemble de nucléons, une énergie de liaison plus élevée correspond à une masse du noyau plus faible et à une stabilité plus grande.

📖 2. Transformations radioactives

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une transformation $\beta^-$, l’énergie maximale vaut $E_{\beta^-,\max}=[m(X)-m(Y)]c^2$ et l’énergie moyenne vaut $E_{\beta^-,\mathrm{moy}}=\frac{E_{\beta^-,\max}}{3}$.

📐 Formule - Pour une transformation $\alpha$, l’énergie de réaction est $Q=[m(X)-m(Y)-m(\mathrm{He})]c^2$ et l’énergie emportée par la particule alpha est $E_\alpha=\frac{Q}{1+M_\alpha/M_Y}\simeq Q$.

Compléments

📌 La capture électronique est possible si l’énergie disponible vérifie $[m(X)-m(Y)]c^2>E_l$, où $E_l$ est l’énergie de liaison de l’électron capturé.

📐 Formule - L’énergie du rayonnement X de fluorescence est $E_X=h\nu=|E_K-E_L|$.

📐 Formule - L’énergie d’un électron Auger est $E_{\mathrm{Auger}}=|(E_K-E_L)-E_M|$.

📐 Formule - Lors d’une conversion interne, l’énergie emportée par l’électron est $E_e=E-|E_l|=(E_i-E_f)-|E_l|$.

📐 Formule - Le coefficient de conversion interne est le rapport du nombre d’électrons de conversion interne au nombre de photons gamma, et le coefficient total est la somme des coefficients des couches : $\alpha=\frac{N(e^-_{CI})}{N(\gamma)}$ et $\alpha_{\mathrm{total}}=\alpha_K+\alpha_L+\alpha_M+\cdots$, avec $\alpha_K>\alpha_L>\alpha_M$.

📖 3. Cinétique et filiation radioactive

★ À maîtriser

📐 Formule - La décroissance du nombre de noyaux radioactifs suit $N=N_0e^{-\lambda t}$, où $N_0$ est le nombre initial de noyaux pères et $\lambda$ la constante radioactive.

📐 Formule - L’activité radioactive vérifie $A=\lambda N=-\frac{dN}{dt}$ et décroît selon $A=A_0e^{-\lambda t}$.

📐 Formule - La période radioactive est reliée à la constante radioactive par $T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda}$.

📐 Formule - Dans une filiation radioactive $X\to Y\to Z$, le nombre de noyaux fils intermédiaires est $N_2(t)=N_1(0)\frac{\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1}(e^{-\lambda_1t}-e^{-\lambda_2t})$ et leur activité est $A_2(t)=A_1(0)\frac{\lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}(e^{-\lambda_1t}-e^{-\lambda_2t})$.

• Lorsque le fils se désintègre beaucoup plus vite que le père ($\lambda_2\gg\lambda_1$, donc $T_2\ll T_1$), l’équilibre séculaire conduit à des activités du fils et du père presque égales.

Compléments

📐 Formule - Le nombre de noyaux fils formés à l’instant $t$ est $N'=N_0(1-e^{-\lambda t})$.

📐 Formule - La masse d’un radionucléide d’activité $A$ et de période $T$ vaut $m=\frac{M A T}{\ln 2\,N_A}$, avec $N_A=6{,}022\times10^{23}$.

📐 Formule - Pour deux radionucléides, l’activité totale est la somme de leurs activités : $A_{\mathrm{tot}}(t)=A_1(t)+A_2(t)$, avec $A_i(t)=A_{i0}e^{-\lambda_i t}$.

📐 Formule - Dans une filiation radioactive, l’activité du fils atteint son maximum à $t_M=\frac{1}{\lambda_2-\lambda_1}\ln\left(\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)$, lorsque les activités du père et du fils sont égales.

📌 Si le père se désintègre plus vite que le fils ($\lambda_1>\lambda_2$, donc $T_1<T_2$), l’activité du fils finit par décroître avec sa propre constante radioactive.

📌 Si le fils se désintègre plus vite que le père ($\lambda_2>\lambda_1$, donc $T_2<T_1$), un équilibre de régime apparaît et l’activité du fils est proportionnelle à celle du père selon $A_2(t)=\frac{\lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}A_1(t)$.

• Les conversions indiquées sont $1\,\mathrm{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\,\mathrm{J}$, $1\,\mathrm{Ci}=**3{,}7\times10^{10}\,\mathrm{Bq}**$ et $1\,\mathrm{u}=**931{,}5\,\mathrm{MeV}**/c^2$.

💡 Astuce mémo

Un père radioactif produit un fils, dont l’activité augmente puis peut atteindre celle du père.

📖 4. Datation au carbone 14

★ À maîtriser

📐 Formule - La datation au radiocarbone relie la durée écoulée à la concentration de carbone 14 par $t-t_0=\frac{1}{\lambda}\ln\left(\frac{C_0}{C_t}\right)$.

Compléments

• La période radioactive du carbone 14 est de 5 700 ans.

• Dans la datation au radiocarbone, $C_0$ désigne la concentration initiale de carbone 14 et $C_t$ sa concentration au temps actuel.

• Dans la relation de datation au carbone 14, $\lambda$ est la constante radioactive du carbone 14, exprimée en $s^{-1}$.

📖 5. Interactions et pénétration des rayonnements

🔑 Notions clés & Définitions

• Transfert d'énergie linéique : L'énergie transférée au milieu cible par unité de longueur.

★ À maîtriser

📐 Formule - Lors d'une ionisation, l'énergie cinétique de l'électron produit est $E_c=\Delta E-E_0$, où $\Delta E$ est l'énergie cédée et $E_0$ l'énergie de liaison.

📐 Formule - La profondeur moyenne de pénétration est donnée par $P=\frac{0{,}215\,E^{1{,}33}}{\rho}$, avec $P$ en cm, l'énergie cinétique $E$ en MeV et la masse volumique $\rho$ en $g\,cm^{-3}$.

📐 Formule - Dans l'effet photoélectrique, l'énergie cinétique de l'électron éjecté vérifie $E_c=h\nu-E_l$, où $h\nu$ est l'énergie du photon incident et $E_l$ l'énergie de liaison de l'électron.

📌 La production de paire n'est possible que si l'énergie du photon est au moins égale à 1,022 MeV.

Compléments

📐 Formule - Lors d'une excitation, l'énergie cédée vérifie $\Delta E=E_1-E_0$, où $E_0$ est l'énergie de l'état stable et $E_1$ celle de l'état excité.

📐 Formule - Lors d'une diffusion inélastique sur les noyaux, l'énergie emportée par le rayonnement de freinage vérifie $E_B=E_1-E_2$, où $E_1$ et $E_2$ sont respectivement les énergies de l'électron incident et de l'électron dévié.

📐 Formule - Le transfert d'énergie linéique vérifie $\mathrm{TEL}=\frac{dE}{dx}=\mathrm{DLI}\times E_i$, où la DLI est la densité linéique d'ionisation et $E_i$ l'énergie moyenne d'ionisation du milieu.

• Dans l'effet Compton, l'énergie cinétique de l'électron éjecté est approximativement égale à la différence entre l'énergie du photon incident et celle du photon diffusé, diminuée de l'énergie de liaison de l'électron.

📐 Formule - La relation de Compton-Debye est $\lambda'-\lambda=\frac{h}{m_e c}(1-\cos\theta)$, où $\lambda'$ et $\lambda$ sont les longueurs d'onde du photon diffusé et incident, et $\theta$ l'angle de déviation.

📖 6. Atténuation et grandeurs dosimétriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Flux énergétique : L'énergie émise par une source par unité de temps et s'exprime en watts.
• Fluence énergétique : L'énergie totale reçue par unité de surface et s'exprime en $J\,m^{-2}$.
• Intensité énergétique : Le flux d'énergie dans un angle solide donné et s'exprime en watts par stéradian.
• Éclairement énergétique : Le flux énergétique reçu par unité de surface et s'exprime en $W\,m^{-2}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le nombre de photons traversant une épaisseur $x$ suit $N_x=N_0e^{-\mu x}$, où $N_0$ est le nombre de photons émis et $\mu$ le coefficient d'atténuation linéaire.

📐 Formule - La couche de demi-atténuation est donnée par $\mathrm{CDA}=\frac{\ln 2}{\mu}$ et s'exprime en cm lorsque $\mu$ est en $cm^{-1}$.

Compléments

📐 Formule - Le coefficient total d'atténuation linéaire est la somme des contributions photoélectrique, Compton et de production de paire : $\mu_{tot}=\mu_{ph}+\mu_C+\mu_p$.

📖 7. Dosimétrie des expositions

🔑 Notions clés & Définitions

• Kerma : Le transfert d'énergie au sein d'une sphère par unité de masse et s'exprime en grays.
• Dose absorbée : L'énergie absorbée par unité de masse, quel que soit le lieu du transfert initial, et s'exprime en grays.

★ À maîtriser

📐 Formule - La dose équivalente est $H=W_rD$, où $W_r$ est le coefficient de pondération des rayonnements; elle s'exprime en sieverts.

📐 Formule - La dose efficace est $E=W_tH$, où $W_t$ est le coefficient de pondération tissulaire; pour le corps entier, le cours indique $E=H$.

Compléments

📐 Formule - Le kerma vérifie $K=\frac{dW_k}{dm}=\frac{\mu^*}{\rho}F$, où $dW_k$ est l'énergie transférée, $dm$ la masse, $\mu^*$ le coefficient de transfert d'énergie, $\rho$ la masse volumique et $F$ la fluence énergétique.

📐 Formule - La dose absorbée vérifie $D=\frac{dW_{abs}}{dm}\simeq\frac{\mu^*}{\rho}F$.

📐 Formule - Le débit de kerma est $\dot K=\frac{dK}{dt}$ et s'exprime en $Gy\,s^{-1}$.

📐 Formule - Le débit de dose absorbée est $\dot D=\frac{dD}{dt}$ et s'exprime en $Gy\,s^{-1}$.

📐 Formule - La période effective et les périodes physique et biologique vérifient $\frac{1}{T_E}=\frac{1}{T_P}+\frac{1}{T_B}$.

📐 Formule - Le rapport entre le kerma et la dose absorbée dans deux milieux est approximativement égal au rapport de leurs coefficients massiques de transfert d'énergie : $\frac{K_1}{K_2}\simeq\frac{D_1}{D_2}=\frac{\mu_1^*/\rho_1}{\mu_2^*/\rho_2}$.

📖 8. Détection et statistique de comptage

★ À maîtriser

• L'efficacité absolue est le rapport du nombre d'impulsions comptées au nombre d'impulsions émises par la source.

• L'efficacité intrinsèque, aussi appelée rendement, est le rapport du nombre d'impulsions comptées au nombre d'impulsions reçues par le détecteur.

📐 Formule - L'erreur relative de comptage est proportionnelle à $\frac{1}{\sqrt{N}}$, où $N$ est le nombre de particules comptées; elle doit être multipliée par 100 pour être exprimée en pourcentage.

Compléments

📐 Formule - Le nombre moyen de particules reçues par un détecteur est $D(t)=N(t)\frac{\Omega}{4\pi}$, où $N(t)$ est le nombre de particules émises et $\Omega$ l'angle solide du détecteur.

• Une durée de mesure plus longue augmente le nombre de particules comptées et diminue l'erreur statistique.

• Pour un compteur Geiger-Müller, l'angle solide considéré est $\Omega=2\pi$.

📊 Tableaux de synthèse

Grandeurs et doses dosimétriques