Fiche de révision : Raisonnement et ensembles

📋 Plan du Cours

1. Logique propositionnelle et tautologies
2. Assertions et méthodes de preuve
3. Parité et irrationalité
4. Démonstrations par récurrence
5. Opérations sur les ensembles
6. Complémentaires et produits cartésiens
7. Applications et QCM de synthèse

📖 1. Logique propositionnelle et tautologies

🔑 Notions clés & Définitions

• Tautologie : Proposition vraie pour toutes les valeurs de vérité de ses variables.

★ À maîtriser

📌 Une implication p → q est fausse uniquement lorsque p est vraie et q est fausse, tandis qu’elle est vraie dans les trois autres cas.

📐 Formule — Les équivalences logiques fondamentales sont $\neg(p \to q) \equiv p \land \neg q$, $p \leftrightarrow q \equiv (p \land q) \lor (\neg p \land \neg q)$ et $(p \to q) \land (p \to r) \equiv p \to (q \land r)$.

Compléments

• Les propositions ¬p → (p → q), (p ∧ q) → (p ∨ q), (p ∧ q) → (p → q), [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) et [(p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r)] → (q ∨ r) sont des tautologies.

💡 Astuce mémo

Implication p→q : vraie sauf quand p est vraie et q fausse ; équivalence p↔q : mêmes valeurs de vérité.

📖 2. Assertions et méthodes de preuve

★ À maîtriser

• Pour démontrer une implication par contraposition, on montre que la négation de la conclusion entraîne la négation de l’hypothèse.

• Pour démontrer une implication par l’absurde, on suppose l’hypothèse et la négation de la conclusion, puis on obtient une contradiction.

📌 Si x + y + z < 73, alors x < 4 ou y < 66 ou z < 3, car la négation simultanée de ces trois inégalités donnerait x + y + z ≥ 73.

Compléments

📌 Pour tout entier relatif n, si 9n + 7 est pair, alors n est impair.

💡 Astuce mémo

Directe, contraposition, absurde : trois chemins pour établir une implication.

📖 3. Parité et irrationalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre irrationnel : Nombre qui ne peut pas s’écrire comme le quotient de deux entiers ; √2 est irrationnel.

★ À maîtriser

📌 Le nombre (7 − √2)/5 est irrationnel.

📌 Si un entier naturel non nul n est le carré d’un entier, alors 2n n’est pas le carré d’un entier.

Compléments

📌 Si a et b sont des entiers relatifs et a + b√2 = 0, alors a = 0 et b = 0.

📐 Formule — Pour tous entiers relatifs k, l, m et n, $k + l\sqrt{2} = m + n\sqrt{2} \Longleftrightarrow (k=m \text{ et } l=n)$.

💡 Astuce mémo

Pairité : travailler modulo 2 ; irrationalité : supposer rationnel puis obtenir une contradiction.

📖 4. Démonstrations par récurrence

★ À maîtriser

• Une démonstration par récurrence établit une propriété en vérifiant son initialisation, son hérédité, puis sa validité pour tous les entiers concernés.

📐 Formule — Pour tout entier n ≥ 1, $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$.

• Le carré de chaque entier n ≥ 1 est égal à la somme des n premiers entiers naturels impairs.

Compléments

📌 Pour tout entier n ≥ 4, l’inégalité 5^(n−1) ≥ 3n + 2 est vraie.

📌 Pour tout entier n ≥ 0, 7^(n+2) + 8^(2n+1) est divisible par 57.

💡 Astuce mémo

Initialisation → hérédité → conclusion pour tout n.

📖 5. Opérations sur les ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Appartenance : Un élément x appartient à un ensemble A, noté x ∈ A, lorsque x est l’un des éléments de A.
• Inclusion : Un ensemble X est inclus dans A, noté X ⊆ A, lorsque tout élément de X appartient à A.
• Produit cartésien : Ensemble des couples ordonnés (x,y) tels que x ∈ E et y ∈ F.

★ À maîtriser

• Pour calculer une différence d’ensembles X \ Y, on conserve les éléments de X qui n’appartiennent pas à Y.

Compléments

• Avec B = {1,2,a,b} et C = {2,b,c}, on obtient B ∩ C = {2,b}.

💡 Astuce mémo

Visualiser les ensembles comme des boîtes : appartenance dans une boîte, inclusion entre boîtes.

📖 6. Complémentaires et produits cartésiens

★ À maîtriser

📐 Formule — Les lois de De Morgan sont $\overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B$ et $\overline{A\cap B}=\overline A\cup\overline B$.

📐 Formule — Pour des ensembles E et F, $E\times F=\varnothing \Longleftrightarrow (E=\varnothing \text{ ou } F=\varnothing)$.

Compléments

📌 Si A ∩ B = A ∩ C et A ∪ B = A ∪ C, alors B = C.

📐 Formule — Le produit cartésien distribue sur l’union selon $E\times(F\cup G)=(E\times F)\cup(E\times G)$.

💡 Astuce mémo

Complémenter inverse union et intersection ; le produit cartésien devient vide dès qu’un facteur est vide.

📖 7. Applications et QCM de synthèse

★ À maîtriser

• Dans le QCM, l’égalité E × F = ∅ équivaut à E = ∅ ou F = ∅, et non nécessairement à E = F = ∅.

Compléments

• Dans le QCM, l’assertion (x + y + z < 2020) ⇒ (x < 1000 ou y < 500 ou z < 520) est vraie.

• Dans le QCM, l’assertion « L’entier 6 est la somme de trois carrés d’entiers » est vraie, car 6 = 1² + 1² + 2².

• Dans le QCM sur les ensembles, si B = {0,1,b} et C = {1,b,c}, alors B ∩ C = {1,b}.

📊 Tableaux de synthèse

Notions logiques à distinguer