Raisonnement et ensembles

📋 Plan du Cours

1. Logique propositionnelle et tautologies
2. Assertions et méthodes de preuve
3. Parité et irrationalité
4. Démonstrations par récurrence
5. Opérations sur les ensembles
6. Complémentaires et produits cartésiens
7. Applications et QCM de synthèse

📖 1. Logique propositionnelle et tautologies

🔑 Notions clés & Définitions

• Tautologie : Proposition vraie pour toutes les valeurs de vérité de ses variables.

★ À maîtriser

📌 Une implication p → q est fausse uniquement lorsque p est vraie et q est fausse, tandis qu’elle est vraie dans les trois autres cas.

📐 Formule — Les équivalences logiques fondamentales sont $\neg(p \to q) \equiv p \land \neg q$, $p \leftrightarrow q \equiv (p \land q) \lor (\neg p \land \neg q)$ et $(p \to q) \land (p \to r) \equiv p \to (q \land r)$.

Compléments

• Les propositions ¬p → (p → q), (p ∧ q) → (p ∨ q), (p ∧ q) → (p → q), [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) et [(p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r)] → (q ∨ r) sont des tautologies.

💡 Astuce mémo

Implication p→q : vraie sauf quand p est vraie et q fausse ; équivalence p↔q : mêmes valeurs de vérité.

📖 2. Assertions et méthodes de preuve