QCM : Raisonnement et ensembles — 20 questions

Explication

Une implication échoue lorsque son hypothèse est vraie mais que sa conclusion est fausse. Dans les trois autres configurations, elle est considérée comme vraie, même si sa conclusion n’est pas toujours vraie.

Explication

La négation de $p \to q$ exprime précisément que $p$ est vraie et que $q$ est fausse, soit $p \land \neg q$. L’expression $\neg p \lor q$ correspond à l’implication elle-même, et non à sa négation.

Explication

Une tautologie reste vraie quelle que soit l’attribution des valeurs de vérité à ses variables propositionnelles. Le fait que certaines variables aient des valeurs opposées ne suffit pas à définir une tautologie.

Explication

La contraposition consiste à établir l’implication équivalente $\neg q \to \neg p$. Supposer simultanément $p$ et $\neg q$ relève plutôt d’une preuve par l’absurde.

Explication

La preuve par l’absurde suppose l’hypothèse vraie et la conclusion fausse, c’est-à-dire $p$ et $\neg q$, afin d’aboutir à une contradiction. La négation de l’hypothèse intervient dans la contraposition, pas dans cette démarche.

Explication

Si les trois inégalités indiquées étaient fausses, on aurait simultanément $x\ge4$, $y\ge66$ et $z\ge3$, donc $x+y+z\ge73$. Cette conclusion contredirait l’hypothèse, ce qui établit qu’au moins une des trois inégalités est vraie.

Explication

Un nombre irrationnel n’est pas représentable sous la forme d’un quotient de deux entiers, et $\sqrt{2}$ en est un exemple. La représentation par un quotient d’entiers caractérise au contraire les nombres rationnels.

Explication

Comme $\sqrt{2}$ est irrationnel, $7-\sqrt{2}$ est irrationnel, et sa division par le rationnel non nul $5$ reste irrationnelle. Une division par un nombre rationnel ne transforme donc pas ici l’expression en nombre rationnel.

Explication

Le double d’un carré entier naturel non nul ne peut pas être lui-même un carré entier. Les autres propositions assimilent à tort la multiplication par $2$ à une opération qui préserverait automatiquement la forme d’un carré.

Explication

Une démonstration par récurrence commence par l’initialisation, établit ensuite l’hérédité, puis permet de conclure pour tous les entiers concernés. L’initialisation seule ne garantit pas la propriété pour les autres entiers.

Explication

La somme $1+2+\cdots+n$ est égale à $\frac{n(n+1)}{2}$. L’expression $\frac{n(n-1)}{2}$ correspondrait à la somme des entiers de $1$ à $n-1$.

Explication

Le carré $n^2$ est égal à la somme des $n$ premiers entiers naturels impairs. La somme des entiers de $1$ à $n$ vaut plutôt $\frac{n(n+1)}{2}$.

Explication

La notation $x\in A$ indique que $x$ est l’un des éléments de $A$. L’inclusion d’un ensemble dans un autre se note plutôt $X\subseteq A$.

Explication

L’inclusion $X\subseteq A$ signifie que chaque élément de $X$ appartient aussi à $A$. Elle ne signifie pas que $X$ lui-même est un élément de $A$, ce qui s’écrirait $X\in A$.

Explication

Le produit cartésien $E\times F$ contient les couples ordonnés dont le premier élément vient de $E$ et le second de $F$. Les couples de $F\times E$ auraient l’ordre inverse.

Explication

La différence $Xackslash Y$ se forme en retirant de $X$ les éléments qui appartiennent aussi à $Y$. Les éléments propres à $Y$ ne sont pas ajoutés au résultat.

Explication

Le complémentaire d’une union est l’intersection des complémentaire, soit $overline{A\cup B}=overline A\capoverline B$. La réunion des complémentaires correspond au complémentaire de l’intersection.

Explication

Le produit $E\times F$ est vide dès qu’un des deux ensembles est vide, car il ne peut alors former aucun couple ordonné. L’absence d’éléments communs entre $E$ et $F$ n’empêche pas leur produit d’exister.

Explication

Le produit cartésien $E \times F$ est vide dès qu’au moins l’un des ensembles $E$ ou $F$ est vide. La conclusion selon laquelle les deux ensembles devraient être vides est trop forte, car un seul ensemble vide suffit.

Explication

L’intersection rassemble les éléments présents dans les deux ensembles, ici $1$ et $b$. Les éléments $0$ et $c$ n’appartiennent respectivement qu’à un seul des deux ensembles.