Fiche de révision : Raisonnement par récurrence

📋 Plan du Cours

1. Propriétés mathématiques sur les entiers
2. Principe de récurrence
3. Méthode de démonstration
4. Application aux suites et erreurs

📖 1. Propriétés mathématiques sur les entiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriété mathématique : Une phrase, écrite ou non avec des symboles mathématiques, qui est soit vraie, soit fausse.

★ À maîtriser

📌 Un contre-exemple suffit à montrer qu’une propriété est fausse, tandis que vérifier seulement ses quatre ou cinq premières valeurs ne suffit pas à prouver qu’elle est vraie pour tous les entiers.

Compléments

• Lorsqu’une propriété concerne un entier naturel n, elle peut être une égalité comme $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$, une inégalité comme $(1+x)^n>1+nx$ pour tout entier n>1 et tout réel x non nul avec x>-1, ou une phrase comme « n^3-n est un multiple de 3 ».

💡 Astuce mémo

Un contre-exemple réfute une propriété, mais quelques vérifications ne la prouvent pas pour tous les entiers.

📖 2. Principe de récurrence

📝 Points essentiels

📌 Si une propriété P(n), concernant un entier naturel n, est vraie au rang n₀ et si, pour tout entier k≥n₀, P(k) vraie implique P(k+1) vraie, alors P(n) est vraie pour tout entier n≥n₀.

• Le principe de récurrence repose sur une initialisation au rang n₀, suivie d’une hérédité montrant que P(k) implique P(k+1), puis d’une conclusion valable pour tout entier n≥n₀.

💡 Astuce mémo

Une première domino tombe, puis chaque domino fait tomber le suivant.

📖 3. Méthode de démonstration

★ À maîtriser

• Pour démontrer une propriété P(n) pour tout entier n≥n₀, on vérifie d’abord P(n₀), puis on fixe un entier n≥n₀ et on suppose P(n) vraie avant de démontrer P(n+1), et enfin on applique le principe de récurrence.

Compléments

• L’initialisation se fait souvent au rang n₀=0 ou au rang n₀=1.

💡 Astuce mémo

Initialisation → hérédité → conclusion.

📖 4. Application aux suites et erreurs

📝 Points essentiels

• Pour la suite définie par u₀=2 et u_{n+1}=0,3u_n+7, la propriété P(n) : u_n≤10 se démontre par récurrence.

• Dans cet exemple, l’initialisation donne u₀=2≤10, puis l’hypothèse u_n≤10 entraîne 0,3u_n≤3 et donc u_{n+1}=0,3u_n+7≤10, ce qui permet de conclure que u_n≤10 pour tout entier naturel n.

📌 Omettre l’initialisation ou l’hérédité peut conduire à une conclusion fausse, car les deux étapes sont indispensables au raisonnement par récurrence.

💡 Astuce mémo

Sans initialisation ou sans hérédité, la démonstration ne permet pas de conclure.