Raisonnement par récurrence

📋 Plan du Cours

1. Propriétés mathématiques sur les entiers
2. Principe de récurrence
3. Méthode de démonstration
4. Application aux suites et erreurs

📖 1. Propriétés mathématiques sur les entiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriété mathématique : Une phrase, écrite ou non avec des symboles mathématiques, qui est soit vraie, soit fausse.

★ À maîtriser

📌 Un contre-exemple suffit à montrer qu’une propriété est fausse, tandis que vérifier seulement ses quatre ou cinq premières valeurs ne suffit pas à prouver qu’elle est vraie pour tous les entiers.

Compléments

• Lorsqu’une propriété concerne un entier naturel n, elle peut être une égalité comme $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$, une inégalité comme $(1+x)^n>1+nx$ pour tout entier n>1 et tout réel x non nul avec x>-1, ou une phrase comme « n^3-n est un multiple de 3 ».

💡 Astuce mémo

Un contre-exemple réfute une propriété, mais quelques vérifications ne la prouvent pas pour tous les entiers.

📖 2. Principe de récurrence

📝 Points essentiels

📌 Si une propriété P(n), concernant un entier naturel n, est vraie au rang n₀ et si, pour tout entier k≥n₀, P(k) vraie implique P(k+1) vraie, alors P(n) est vraie pour tout entier n≥n₀.