Qu'est-ce qu'une propriété mathématique ?
Une phrase vraie ou fausse, écrite ou non avec des symboles mathématiques.
Quelle égalité illustre une propriété sur un entier naturel n ?
Quelle inégalité est une propriété pour tout entier n>1 et réel x avec x>-1 ?
Donnez un exemple de phrase propriété sur un entier n.
« n^3-n est un multiple de 3 »
Que suffit-il pour montrer qu'une propriété est fausse ?
Un contre-exemple suffit.
Est-il suffisant de vérifier les premières valeurs pour prouver une propriété vraie ?
Non, vérifier quatre ou cinq premières valeurs ne suffit pas.
Quelle condition initiale doit être vraie pour appliquer le principe de récurrence ?
La propriété P(n) est vraie au rang n₀.
Que doit montrer l'hérédité dans le principe de récurrence ?
Que P(k) vraie implique P(k+1) vraie pour tout k≥n₀.
Quelle conclusion tire-t-on du principe de récurrence ?
P(n) est vraie pour tout entier n≥n₀.
Sur quoi repose le principe de récurrence ?
Sur une initialisation, une hérédité, puis une conclusion pour tout n≥n₀.
Quelle est la première étape du principe de récurrence ?
L'initialisation au rang n₀.
Que montre l'étape d'hérédité dans le principe de récurrence ?
Que P(k) implique P(k+1).
Quelle est la première étape pour démontrer une propriété P(n) par récurrence ?
Vérifier que P(n₀) est vraie.
Que suppose-t-on pour démontrer P(n+1) dans une preuve par récurrence ?
On suppose que P(n) est vraie.
Quel principe applique-t-on après avoir démontré P(n+1) ?
Le principe de récurrence.
À quels rangs l'initialisation se fait-elle souvent en récurrence ?
Au rang n₀=0 ou n₀=1.
Quelle suite est définie par u₀=2 et ?
La suite définie par u₀=2 et .
Quelle propriété P(n) est démontrée par récurrence pour cette suite ?
La propriété P(n) : u_n ≤ 10.
Que donne l'initialisation dans l'exemple de la suite ?
L'initialisation donne u₀=2 ≤ 10.
Que permet l'hypothèse u_n ≤ 10 dans cet exemple ?
Elle entraîne 0,3u_n ≤ 3 et donc ≤ 10.
Quelle conclusion permet de tirer la récurrence dans cet exemple ?
Qu'u_n ≤ 10 pour tout entier naturel n.
Que peut entraîner l'omission de l'initialisation ou de l'hérédité ?
Une conclusion fausse.
Pourquoi l'initialisation et l'hérédité sont-elles indispensables ?
Parce que les deux étapes sont indispensables au raisonnement par récurrence.
Teste tes connaissances avec un QCM de 9 questions sur Raisonnement par récurrence.
1. Qu’est-ce qui caractérise une propriété mathématique ?
2. Pour montrer qu’une propriété portant sur tous les entiers est fausse, quelle démarche suffit ?
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