QCM : Raisonnement par récurrence — 9 questions

Questions et réponses du QCM

1. Qu’est-ce qui caractérise une propriété mathématique ?

C’est une valeur numérique choisie parmi plusieurs résultats
C’est une démonstration composée de plusieurs calculs
C’est une phrase qui peut être vraie ou fausse
C’est une opération qui produit toujours un entier

C’est une phrase qui peut être vraie ou fausse

Explication

Une propriété mathématique est une phrase, avec ou sans symboles, à laquelle on peut attribuer la valeur vraie ou fausse. Une opération ou une valeur numérique ne constitue pas nécessairement une propriété, car elle n’affirme rien à vérifier.

2. Pour montrer qu’une propriété portant sur tous les entiers est fausse, quelle démarche suffit ?

Calculer plusieurs exemples qui semblent confirmer la propriété
Vérifier la propriété pour ses cinq premiers entiers
Trouver un entier pour lequel la propriété est fausse
Démontrer la propriété pour un entier particulièrement grand

Trouver un entier pour lequel la propriété est fausse

Explication

Un seul contre-exemple, c’est-à-dire un entier qui contredit la propriété, suffit à la réfuter. La vérification de plusieurs premières valeurs peut suggérer qu’elle est plausible, mais elle ne prouve pas sa validité pour tous les entiers.

3. Quelles conditions permettent de conclure qu’une propriété P(n) est vraie pour tout entier n≥n₀ par récurrence ?

P(n₀) est vraie et P(k+1) implique P(k) pour tout k≥n₀
P(n) est vérifiée pour un entier n choisi après la démonstration
P(n₀) est vraie et P(k) implique P(k+1) pour tout k≥n₀
P(k) est vraie pour quelques valeurs et P(n₀+1) est calculée

P(n₀) est vraie et P(k) implique P(k+1) pour tout k≥n₀

Explication

La récurrence exige une initialisation au rang n₀ et une hérédité montrant le passage de tout rang k au rang suivant. Vérifier quelques valeurs ou inverser l’implication ne permet pas d’établir la propriété pour tous les entiers concernés.

4. Dans quel ordre s’enchaînent les étapes du principe de récurrence ?

Initialisation, hérédité, puis conclusion pour tout n≥n₀
Hérédité, conclusion pour tout n≥n₀, puis initialisation
Initialisation, conclusion pour n₀, puis vérification de quelques valeurs
Conclusion pour tout n≥n₀, initialisation, puis hérédité

Initialisation, hérédité, puis conclusion pour tout n≥n₀

Explication

Le principe commence par établir la propriété au rang initial, puis démontre sa transmission d’un rang au suivant, avant de conclure pour tous les rangs à partir de n₀. L’hérédité ne peut pas remplacer l’initialisation, car elle suppose une propriété déjà vraie à un rang donné.

5. Pour démontrer par récurrence une propriété P(n) pour tout n≥n₀, que fait-on pendant l’étape d’hérédité ?

On vérifie P(n₀), puis on remplace n₀ par n+1 dans l’hypothèse
On suppose P(n+1) vraie afin de retrouver progressivement la validité de P(n)
On choisit un entier n particulier et on vérifie directement toutes les valeurs suivantes
On fixe un entier n≥n₀, on suppose P(n) vraie et on démontre P(n+1)

On fixe un entier n≥n₀, on suppose P(n) vraie et on démontre P(n+1)

Explication

L’hérédité consiste à prendre un entier n quelconque du domaine, admettre P(n), puis établir P(n+1), avant d’utiliser le principe de récurrence. Supposer P(n+1) pour démontrer P(n) correspond à une démarche inverse et ne réalise pas l’étape attendue.

6. Quel choix de rang initial convient lorsque la propriété est définie pour les entiers naturels commençant à zéro ?

Choisir n₀=0 afin d’initialiser au premier indice concerné
Choisir n₀=2 pour éviter le traitement du premier cas
Choisir n₀ égal au dernier entier apparaissant dans l’énoncé
Choisir n₀=1 car toute récurrence commence au rang suivant

Choisir n₀=0 afin d’initialiser au premier indice concerné

Explication

Lorsque l’ensemble des indices commence à zéro, l’initialisation doit être faite au rang n₀=0. Le rang initial dépend du domaine de définition de la propriété et ne se choisit pas selon une règle imposant systématiquement le rang 1.

7. Dans la suite définie par u0=2u_0=2 et un+1=0,3un+7u_{n+1}=0,3u_n+7, quelle propriété est démontrée par récurrence ?

La borne un≤10u_n\leq 10 pour tout entier naturel nn
La croissance stricte de la suite à partir de u0u_0
La valeur limite de la suite égale à 1010
La relation un=0,3un−1+7u_n=0,3u_{n-1}+7 pour tout entier naturel nn

La borne $$u_n\leq 10$$ pour tout entier naturel $$n$$

Explication

La récurrence porte sur la propriété P(n):un≤10P(n):u_n\leq 10, tandis que la relation de récurrence sert à passer de unu_n à un+1u_{n+1}. La relation définissant le terme suivant ne constitue donc pas la propriété à établir.

8. Dans la preuve par récurrence de un≤10u_n\leq 10 pour la suite donnée, que permet l’hypothèse un≤10u_n\leq 10 ?

Elle établit directement un=2u_n=2 pour tout entier naturel nn
Elle vérifie la première étape avec u0=2≤10u_0=2\leq 10
Elle permet de remplacer la relation par un+1=un+7u_{n+1}=u_n+7
Elle implique 0,3un≤30,3u_n\leq 3, puis un+1=0,3un+7≤10u_{n+1}=0,3u_n+7\leq 10

Elle implique $$0,3u_n\leq 3$$, puis $$u_{n+1}=0,3u_n+7\leq 10$$

Explication

L’hypothèse un≤10u_n\leq 10 donne 0,3un≤30,3u_n\leq 3, puis l’expression de un+1u_{n+1} conduit à un+1≤10u_{n+1}\leq 10. La vérification de u0≤10u_0\leq 10 appartient à l’initialisation et non à l’hérédité.

9. Pourquoi l’initialisation et l’hérédité sont-elles toutes deux nécessaires dans une démonstration par récurrence ?

Parce que l’une définit la suite et l’autre détermine sa limite
Parce qu’elles remplacent la relation de récurrence par une inégalité directe
Parce que l’une établit le premier cas et l’autre transmet la propriété au rang suivant
Parce qu’elles calculent deux valeurs successives avant d’étudier la propriété

Parce que l’une établit le premier cas et l’autre transmet la propriété au rang suivant

Explication

L’initialisation vérifie la propriété au premier rang, puis l’hérédité montre qu’elle se conserve lors du passage de nn à n+1n+1. Négliger l’une de ces étapes peut rendre la conclusion fausse, même si l’autre étape est correcte.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 23 flashcards sur Raisonnement par récurrence.

Qu'est-ce qu'une propriété mathématique ?

Une phrase vraie ou fausse, écrite ou non avec des symboles mathématiques.

Quelle égalité illustre une propriété sur un entier naturel n ?

1+2+⋯+n=n(n+1)21+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}

Quelle inégalité est une propriété pour tout entier n>1 et réel x avec x>-1 ?

(1+x)n>1+nx(1+x)^n>1+nx

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