L’ensemble des nombres réels
Explication
R désigne l’ensemble des nombres réels, c’est-à-dire tous les nombres utilisés dans le cours.
Il contient tous les nombres compris entre deux de ses éléments
Explication
Un intervalle contient tout réel situé entre deux éléments qui lui appartiennent. Cette propriété le distingue d’un ensemble quelconque.
a < x < b
Explication
Les crochets ouverts indiquent que les deux bornes sont exclues : x vérifie donc a < x < b.
Il existe un unique élément
Explication
Le quantificateur ∃! signifie qu’il existe un unique élément satisfaisant la propriété considérée.
240
Explication
Un nombre divisible par 2 se termine par un chiffre pair et un nombre divisible par 5 par 0 ou 5. 240 vérifie les deux conditions.
Il est divisible par 3 et par 9
Explication
27 est divisible à la fois par 3 et par 9. L’entier est donc divisible par 3 et par 9.
Environ 2,2
Explication
La valeur approchée à connaître est √5 ≈ 2,2.
Elle se déplace de deux rangs vers la gauche
Explication
Diviser par 100 déplace la virgule de deux rangs vers la gauche : 48,6 devient 0,486.
Il possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même
Explication
Un nombre premier est divisible uniquement par 1 et par lui-même, donc il possède exactement deux diviseurs positifs.
b doit être différent de zéro
Explication
Le dénominateur b doit être non nul, car une division par zéro n’est pas définie. Le numérateur a peut, lui, être nul.
(ka)/(kb)
Explication
Multiplier simultanément le numérateur et le dénominateur par un même réel non nul ne change pas la valeur de la fraction : ka/kb = a/b.
(ad+bc)/(bd)
Explication
Pour additionner deux fractions, on utilise le dénominateur commun bd : a/b + c/d = (ad+bc)/(bd).
Transformer séparément les deux membres jusqu’à une même expression
Explication
Cette méthode consiste à transformer séparément A et B jusqu’à une expression commune C. Elle se distingue de la transformation directe de A jusqu’à B.
Vérifier qu’elles sont définies sur le même ensemble ou préciser le domaine commun
Explication
Une égalité entre expressions doit être étudiée sur un domaine où les deux expressions sont définies. Il faut donc vérifier leurs ensembles de définition ou préciser leur domaine commun.
Tout réel de E possède au plus une image réelle par la fonction
Explication
Une fonction définie sur E associe à chaque réel x de E au plus un réel y=f(x). L’ensemble E concerne les entrées autorisées, et non nécessairement les images.
L’ensemble des éléments de E qui possèdent une image
Explication
Df regroupe les éléments de l’ensemble de départ E pour lesquels la fonction possède une image. Il ne faut pas le confondre avec l’ensemble des images, qui contient les sorties.
Lorsqu'A(x) et B(x) sont définies et que B(x) est non nul
Explication
Un quotient exige que le numérateur et le dénominateur soient définis et que le dénominateur ne soit pas nul. Cette condition supplémentaire n’est pas requise pour une simple somme.
B(x) doit être strictement positif
Explication
La racine carrée impose B(x)≥0, tandis que sa présence au dénominateur impose √B(x)≠0. Il faut donc B(x)>0.
f(−x)=f(x) pour tout x
Explication
Une fonction paire conserve l’image lorsqu’on remplace x par −x : f(−x)=f(x). Cette propriété suppose que le domaine soit centré en zéro.
L’axe des ordonnées
Explication
La relation f(−x)=f(x) signifie que les points d’abscisses opposées ont la même ordonnée. La courbe est donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Elle est impaire
Explication
La relation f(−x)=−f(x) définit une fonction impaire : le signe de l’image change lorsque x est remplacé par −x. Une fonction paire, elle, conserve l’image.
g∘f, définie par (g∘f)(x)=g(f(x))
Explication
Lorsque les images de f appartiennent au domaine de g, on peut appliquer g après f. La composée est donc g∘f et vérifie (g∘f)(x)=g(f(x)).
Comme l’unique réel positif a tel qu'a^q=b
Explication
La racine q-ième de b est l’unique réel positif a vérifiant a^q=b. Elle se distingue ainsi d’une puissance entière, qui peut avoir une base négative.
(a^p)^{1/q}
Explication
Pour une base positive, on a a^{p/q}=(a^p)^{1/q}=(a^{1/q})^p. La positivité de la base garantit que cette puissance rationnelle est bien définie.
a^{r-r'}
Explication
Le quotient de deux puissances positives de même base se simplifie en a^{r-r'}. La somme des exposants s’applique au produit, et non au quotient.
Ce sont des nombres réels formant un couple
Explication
Dans R², un vecteur est un couple (a;b) de nombres réels, appelés ses composantes. Les coordonnées servent, elles, à décrire la position d’un point.
(3;4)
Explication
On calcule \overrightarrow{AB}=B−A=(5−2;3−(−1))=(3;4). Le vecteur \overrightarrow{BA} aurait les composantes opposées (−3;−4).
((x_A+x_B)/2;(y_A+y_B)/2)
Explication
Le milieu I de [AB] a pour coordonnées les moyennes des coordonnées correspondantes : x_I=(x_A+x_B)/2 et y_I=(y_A+y_B)/2.
5
Explication
La norme vaut √((−3)^2+4^2)=√25=5. Elle correspond à la longueur associée au vecteur dans un repère orthonormé.
x=x_A+tα et y=y_A+tβ, avec t∈R
Explication
La représentation paramétrique s’obtient en ajoutant à A un multiple réel du vecteur directeur : x=x_A+tα et y=y_A+tβ. Le paramètre t parcourt tous les réels.
(−β;α)
Explication
Le vecteur (−β;α) est orthogonal à (α;β), car leur produit scalaire vaut −αβ+αβ=0. Les vecteurs (α;β) et (−α;−β) sont plutôt des directeurs colinéaires.
Il est un vecteur normal à la droite
Explication
Dans une équation cartésienne ax+by+c=0, (a;b) est un vecteur normal. Un vecteur directeur associé est (−b;a).
Elles sont perpendiculaires
Explication
Le produit des coefficients directeurs vaut 2×(−1/2)=−1 ; les droites sont donc perpendiculaires. Des droites seraient parallèles si leurs coefficients directeurs étaient égaux.
m<0
Explication
Une fonction affine est strictement décroissante lorsque son coefficient directeur m est négatif. La valeur de p ne modifie pas le sens de variation.
2
Explication
On calcule m=(9−3)/(5−2)=6/3=2. Le coefficient directeur est donc égal à 2.
La distance entre 0 et x sur la droite réelle
Explication
La valeur absolue de x représente la distance entre 0 et x. Elle vaut x si x≥0 et −x si x≤0.
f(x)=2x+1
Explication
Le coefficient directeur vaut m=(13−5)/(6−2)=2, puis 5=2×2+p donne p=1. Ainsi, f(x)=2x+1.
(y₁−y₀)/y₀
Explication
Le taux d’évolution est le quotient de la variation absolue y₁−y₀ par la valeur initiale y₀. La différence y₁−y₀ est, elle, la variation absolue.
1+t
Explication
Le coefficient multiplicateur vérifie c=1+t. Réciproquement, le taux d’évolution vaut t=c−1.
(1+0,10)(1−0,20)−1
Explication
Les évolutions successives se composent en multipliant les coefficients multiplicateurs. Le taux global vaut donc (1+t₁)(1+t₂)−1.
1+t=((1+t₁)(1+t₂)(1+t₃))^(1/3)
Explication
Le taux moyen doit produire le même coefficient global sur trois périodes. Il vérifie donc 1+t=((1+t₁)(1+t₂)(1+t₃))^(1/3).
Deux équations linéaires à deux inconnues
Explication
Un système 2×2 comporte deux équations linéaires et deux inconnues, généralement notées x et y. Sa solution doit satisfaire simultanément les deux équations.
Les coordonnées des points d’intersection des deux droites
Explication
Chaque équation est associée à une droite, et les solutions communes correspondent aux coordonnées des points où les deux droites se coupent.
ab′−a′b
Explication
Le déterminant du système est D=ab′−a′b. Il compare les coefficients des deux inconnues dans les deux équations.
Le système possède une solution unique
Explication
Si D≠0, le système admet une solution unique, ce qui correspond graphiquement à deux droites sécantes. Lorsque D=0, il peut n’avoir aucune solution ou en avoir une infinité.
f(x)=3x²−2x+1
Explication
Une fonction polynôme du second degré s’écrit ax²+bx+c avec a différent de zéro. Ici, le coefficient de x² vaut 3.
x=1/2 et x=2
Explication
Le discriminant vaut 9, donc les deux solutions sont x=(5−3)/4=1/2 et x=(5+3)/4=2.
S(2 ; −5)
Explication
L’abscisse du sommet est −b/(2a)=8/4=2. Comme f(2)=−5, le sommet est S(2 ; −5).
Le quotient différentiel admet une limite réelle lorsque x tend vers x₀
Explication
La dérivabilité en x₀ signifie que le quotient [f(x)−f(x₀)]/(x−x₀) admet une limite réelle lorsque x tend vers x₀. Cette limite est le nombre dérivé f′(x₀).
y=f′(x₀)(x−x₀)+f(x₀)
Explication
La tangente en (x₀;f(x₀)) utilise la pente f′(x₀) et passe par ce point, d’où y=f′(x₀)(x−x₀)+f(x₀).
f′(x)=4x³−3+1/x
Explication
On dérive terme à terme : (x⁴)′=4x³, (−3x)′=−3 et (ln x)′=1/x.
(f/g)′=(f′g−fg′)/g²
Explication
La règle de dérivation d’un quotient est (f/g)′=(f′g−fg′)/g², sous la condition que g ne s’annule pas.
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Que contient l'ensemble des nombres réels R ?
Tous les nombres utilisés dans le cours.
Qu'est-ce qu'un intervalle dans R ?
Un sous-ensemble où tout réel entre deux éléments appartient aussi à l'ensemble.
Que représente l'intervalle [a;b] ?
Tous les réels x tels qu'a ≤ x ≤ b.
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