Fiche de révision : Rappels de mathématiques L1

📋 Plan du Cours

1. Intervalles et logique
2. Calcul mental et divisibilité
3. Fractions radicaux et puissances
4. Démonstration des égalités
5. Fonctions et ensembles de définition
6. Symétries variations et compositions
7. Fonctions réciproques et puissances rationnelles
8. Vecteurs et géométrie analytique
9. Équations de droites
10. Fonctions affines et valeur absolue
11. Évolutions et taux moyens
12. Systèmes linéaires deux inconnues
13. Polynômes du second degré
14. Dérivation et tangentes

📖 1. Intervalles et logique

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres réels : contient tous les nombres utilisés dans le cours
• Intervalle de R : Sous-ensemble I de R tel que, pour tous a et b de I et tout réel x vérifiant a ≤ x ≤ b, x appartient aussi à I
• Quantificateurs : ∃ signifie « il existe au moins un », ∃! signifie « il existe un unique » et ∀ signifie « pour tout »

★ À maîtriser

• Les intervalles [a;b], [a;b[, ]a;b] et ]a;b[ correspondent respectivement à a ≤ x ≤ b, a ≤ x < b, a < x ≤ b et a < x < b.

Compléments

• On note R* = R{0}, R− = ]−∞;0], R−* = ]−∞;0[, R+ = [0;+∞[ et R+* = ]0;+∞[.

💡 Astuce mémo

Intervalle fermé : bornes incluses ; intervalle ouvert : bornes exclues.

📖 2. Calcul mental et divisibilité

★ À maîtriser

📌 Un entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8, et il est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.

📌 Un entier est divisible par 3 ou par 9 si la somme de ses chiffres est respectivement divisible par 3 ou par 9.

• Les valeurs approchées à mémoriser sont:
  • √2 ≈ 1,4
  • √3 ≈ 1,7
  • √5 ≈ 2,2
  • ln 2 ≈ 0,7
  • ln 3 ≈ 1,1
  • ln 5 ≈ 1,6

📌 Multiplier un nombre par 10, 100 ou 1 000 déplace la virgule respectivement d’un, deux ou trois rangs vers la droite, tandis que le diviser par ces nombres la déplace vers la gauche.

Compléments

📌 Un entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses chiffres des dizaines et des unités est divisible par 4.

📌 Un entier est divisible par 11 si la somme alternée de ses chiffres est divisible par 11.

📖 3. Fractions radicaux et puissances

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Entier supérieur ou égal à 2 qui est divisible uniquement par 1 et par lui-même
• Fraction : Résultat de la division du numérateur a par le dénominateur non nul b
• Racine carrée : Pour a ≥ 0, unique réel positif ou nul dont le carré vaut a
• Puissance : Produit de n facteurs égaux à a pour un entier n strictement positif ; a⁰ = 1 lorsque a ≠ 0

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout réel k ≠ 0, $\frac{ka}{kb}=\frac{a}{b}$.

📐 Formule — Pour des dénominateurs non nuls, $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$.

📌 Pour tout réel a, √(a²) = |a|, donc √(a²) = a si a ≥ 0 et √(a²) = −a si a ≤ 0.

📐 Formule — Pour a ≠ 0 et n entier strictement positif, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

📐 Formule — Pour a et b non nuls et m,n entiers, $a^n a^m=a^{n+m}$, $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$ et $(a^n)^m=a^{nm}$.

Compléments

📐 Formule — Pour a et b positifs avec b > 0, $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ et $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$.

💡 Astuce mémo

Pour les racines, √(a²)=|a|, tandis que a² perd le signe de a.

📖 4. Démonstration des égalités

📝 Points essentiels

• Pour démontrer A = B, on peut transformer A jusqu’à B, transformer séparément A et B jusqu’à une même expression C, ou montrer que A − B = 0.

📌 Avant de démontrer l’égalité de deux expressions en x, il faut vérifier qu’elles sont définies sur le même ensemble ou préciser le domaine commun.

💡 Astuce mémo

Transformer A → B ; transformer A et B → C ; montrer A − B = 0.

📖 5. Fonctions et ensembles de définition

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Procédé qui associe à tout réel x de E au plus un réel y = f(x)
• Ensemble de définition : Ensemble des éléments de E qui possèdent une image par cette fonction
• Courbe représentative : Ensemble des points (x;y) tels que x appartient à Df et y = f(x)

★ À maîtriser

📌 Un quotient A(x)/B(x) est défini lorsque A et B sont définies et B(x) ≠ 0.

📌 √A(x) est définie lorsque A est définie et A(x) ≥ 0, tandis que A(x)/√B(x) exige B(x) > 0.

Compléments

📌 Toute verticale coupe la courbe représentative d’une fonction en au plus un point.

📖 6. Symétries variations et compositions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction paire : Fonction définie sur un domaine centré en zéro telle que, pour tout x, f(−x) = f(x)
• Fonction impaire : Fonction définie sur un domaine centré en zéro telle que, pour tout x, f(−x) = −f(x)
• Fonction croissante : Une fonction est croissante sur I si x0 < x1 entraîne f(x0) ≤ f(x1), et strictement croissante si l’inégalité des images est stricte.
• Fonction composée : Si f(Df) ⊂ Dg, la composée de f suivie de g est g ◦ f, définie par (g ◦ f)(x) = g(f(x)).

📝 Points essentiels

📌 La courbe d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

📌 Si une fonction dérivable vérifie f′(x) ≥ 0 sur I, elle est croissante sur I ; si f′(x) ≤ 0, elle est décroissante, et si f′(x) = 0, elle est constante.

💡 Astuce mémo

Paire : symétrie par rapport à Oy ; impaire : symétrie par rapport à O.

📖 7. Fonctions réciproques et puissances rationnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine q-ième : Pour q entier naturel non nul et b positif, unique a positif tel que a^q = b

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour a > 0 et p entier relatif, q entier naturel non nul, $a^{p/q}=(a^p)^{1/q}=(a^{1/q})^p$.

📐 Formule — Pour des bases positives, $a^r a^{r'}=a^{r+r'}$ et $\frac{a^r}{a^{r'}}=a^{r-r'}$.

Compléments

• L’équation x³ = 125 possède l’unique solution positive x = 125^(1/3) = 5.

📖 8. Vecteurs et géométrie analytique

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Couple (a;b) de réels appelé ses composantes
• Norme d’un vecteur : Dans un repère orthonormé, la norme de (x;y) est $\|(x;y)\|=\sqrt{x^2+y^2}$.
• Colinéarité : Deux vecteurs sont colinéaires si l’un est nul ou si l’un est un multiple réel non nul de l’autre.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour A(xA;yA) et B(xB;yB), $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)$.

• La somme de (x;y) et (x′;y′) vaut (x+x′;y+y′), et le produit par k vaut (kx;ky).

📐 Formule — Le milieu I de [AB] a pour coordonnées $x_I=\frac{x_A+x_B}{2}$ et $y_I=\frac{y_A+y_B}{2}$.

📐 Formule — La distance entre A(xA;yA) et B(xB;yB) est $d(A,B)=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.

📐 Formule — Les vecteurs (x;y) et (x′;y′) sont colinéaires si et seulement si $xy'-x'y=0$.

📖 9. Équations de droites

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur directeur : Pour deux points distincts A et B, vecteur AB de la droite (AB), les autres étant ses multiples non nuls
• Vecteur normal : Si (α;β) est un vecteur directeur non nul d’une droite, alors (−β;α) est un vecteur normal de cette droite.

★ À maîtriser

📐 Formule — Une droite passant par A(xA;yA) et de vecteur directeur (α;β) admet la représentation $x=x_A+t\alpha,\ y=y_A+t\beta,\ t\in\mathbb R$.

📐 Formule — Toute droite possède une équation cartésienne $ax+by+c=0$ avec (a;b) vecteur normal et (−b;a) vecteur directeur.

• Une droite non verticale possède une équation réduite y = mx + p, où m est son coefficient directeur et p son ordonnée à l’origine.

📌 Deux droites de coefficients directeurs m et m′ sont parallèles si et seulement si m=m′, et perpendiculaires si et seulement si mm′=−1.

Compléments

📐 Formule — Pour deux points A et B avec xA ≠ xB, le coefficient directeur vaut $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.

💡 Astuce mémo

Vecteur directeur : suit la droite ; vecteur normal : lui est perpendiculaire.

📖 10. Fonctions affines et valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Fonction définie sur R par f(x)=mx+p, où m et p sont réels
• Valeur absolue : x si x ≥ 0 et −x si x ≤ 0, et distance entre 0 et x sur la droite réelle

📝 Points essentiels

📌 Une fonction affine est strictement croissante sur R si m>0 et strictement décroissante sur R si m<0.

📐 Formule — Une fonction affine déterminée par deux points distincts vérifie $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ et $f(x)=m(x-x_i)+y_i$.

📌 Pour résoudre une inéquation produit ou quotient, on étudie le signe de chaque facteur sur les intervalles délimités par les zéros et les valeurs interdites.

📖 11. Évolutions et taux moyens

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’évolution : Le taux d’évolution de y0 à y1 est $t=\frac{y_1-y_0}{y_0}$, tandis que la variation absolue vaut y1−y0 et le coefficient multiplicateur vaut $c=\frac{y_1}{y_0}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le coefficient multiplicateur et le taux d’évolution vérifient $c=1+t$.

📐 Formule — Lors d’évolutions successives, le coefficient multiplicateur global est $c=c_1c_2$ et le taux global est $t=(1+t_1)(1+t_2)-1$.

📐 Formule — Pour n taux successifs ti, le taux périodique moyen vérifie $1+t=\left(\prod_{i=1}^{n}(1+t_i)\right)^{1/n}$.

Compléments

• Une hausse de 8 %, suivie d’une baisse de 5 % puis d’une hausse de 7 %, donne un taux global d’environ 9,78 %.

💡 Astuce mémo

Évolutions successives → multiplication des coefficients multiplicateurs, pas addition des taux.

📖 12. Systèmes linéaires deux inconnues

🔑 Notions clés & Définitions

• Système linéaire : Ensemble de deux équations linéaires à deux inconnues x et y dont une solution est un couple satisfaisant simultanément les deux équations

📝 Points essentiels

• Graphiquement, les solutions d’un système sont les coordonnées des points d’intersection des deux droites associées.

📐 Formule — Pour le système ax+by=c et a′x+b′y=c′, le déterminant est $D=ab'-a'b$.

📌 Si D ≠ 0, le système possède une solution unique ; si D = 0, il possède soit aucune solution, soit une infinité de solutions.

💡 Astuce mémo

D ≠ 0 : une solution ; D = 0 : aucune solution ou une infinité.

📖 13. Polynômes du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme du second degré : Fonction définie sur R par f(x)=ax²+bx+c avec a ≠ 0

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le discriminant de ax²+bx+c est $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Si Δ>0, l’équation possède deux solutions $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ ; si Δ=0, elle possède une solution $x_0=\frac{-b}{2a}$ ; si Δ<0, elle n’a aucune solution réelle.

📐 Formule — La forme canonique de f(x)=ax²+bx+c est $f(x)=a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right)$.

📌 Si Δ>0, f se factorise en a(x−x1)(x−x2) ; si Δ=0, en a(x−x0)² ; si Δ<0, elle ne se factorise pas sur R et garde le signe de a.

• La parabole a pour axe de symétrie x=−b/(2a), sommet S(−b/(2a);−Δ/(4a)), minimum si a>0 et maximum si a<0.

💡 Astuce mémo

Δ > 0 : deux racines ; Δ = 0 : une racine double ; Δ < 0 : aucune racine réelle.

📖 14. Dérivation et tangentes

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Limite réelle du quotient (f(x)−f(x0))/(x−x0) lorsque x tend vers x0

★ À maîtriser

📐 Formule — La tangente à la courbe en (x0;f(x0)) a pour équation $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.

📐 Formule — Les dérivées usuelles comprennent $(ax+b)'=a$, $(x^n)'=nx^{n-1}$, $(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, $(\ln x)'=\frac{1}{x}$ et $(e^x)'=e^x$.

📐 Formule — Pour deux fonctions dérivables, (f+g)′=f′+g′, (fg)′=f′g+fg′ et $(f/g)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$ lorsque g ne s’annule pas.

📐 Formule — Pour une composée g ◦ f, $(g\circ f)'(x)=f'(x)g'(f(x))$.

Compléments

📌 Lorsqu’une fonction dépend d’une variable et d’un paramètre, on dérive par rapport à la variable en considérant le paramètre comme une constante.

💡 Astuce mémo

Limite du taux d’accroissement → nombre dérivé → pente de la tangente.

📊 Tableaux de synthèse

Types de droites