Fiche de révision : Rappels de mathématiques vectorielles

📋 Plan du Cours

1. Scalaires et vecteurs
2. Opérations élémentaires sur les vecteurs
3. Produit scalaire et projection
4. Produit vectoriel et surface
5. Produit mixte et volume
6. Champs et opérateurs différentiels
7. Applications en physique

📖 1. Scalaires et vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Grandeur vectorielle : Caractérisée par une direction, un sens, un module et un point d’application, comme une vitesse, un vecteur position ou une force.

★ À maîtriser

📌 Une grandeur scalaire est caractérisée par un nombre réel et représentée symboliquement par une lettre, comme le temps t ou la masse m.

Compléments

📌 Deux vecteurs équipollents ont le même module, la même direction et le même sens, tandis que deux vecteurs opposés ont le même module et la même direction mais des sens opposés.

💡 Astuce mémo

Scalaire = nombre ; vecteur = direction, sens, module et point d’application

📖 2. Opérations élémentaires sur les vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur unitaire : Vecteur dont le module est égal à 1.
• Vecteurs orthogonaux : Deux vecteurs dont les directions sont perpendiculaires.

📝 Points essentiels

• La somme de deux vecteurs se construit en joignant les deux vecteurs bout à bout, puis le vecteur somme relie l’origine du premier à l’extrémité du second.

📐 Formule — Dans la base orthonormée $\left(\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$, un vecteur s’écrit $\vec{A}=A_1\vec{i}+A_2\vec{j}+A_3\vec{k}$ et son module vaut $\|\vec{A}\|=\sqrt{A_1^2+A_2^2+A_3^2}$.

💡 Astuce mémo

Somme bout à bout, différence par vecteur opposé

📖 3. Produit scalaire et projection

★ À maîtriser

📐 Formule — Le produit scalaire de deux vecteurs est le scalaire $\vec{A}\cdot\vec{B}=\|\vec{A}\|\|\vec{B}\|\cos\theta$, où θ est l’angle entre les deux vecteurs.

📐 Formule — Dans une base orthonormée, le produit scalaire vérifie $\vec{A}\cdot\vec{B}=A_1B_1+A_2B_2+A_3B_3$.

Compléments

📌 Le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est nul, et le produit scalaire de deux vecteurs unitaires égaux vaut 1.

💡 Astuce mémo

Produit scalaire = scalaire projeté ; produit vectoriel = vecteur perpendiculaire

📖 4. Produit vectoriel et surface

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit vectoriel : Le produit vectoriel de deux vecteurs $\vec{A}$ et $\vec{B}$ est un vecteur $\vec{C}=\vec{A}\wedge\vec{B}$ perpendiculaire au plan formé par ces vecteurs et orienté de sorte que $\left(\vec{A},\vec{B},\vec{C}\right)$ forme un trièdre direct.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le module du produit vectoriel est $\|\vec{A}\wedge\vec{B}\|=\|\vec{A}\|\|\vec{B}\|\sin\theta$ et représente la surface du parallélogramme construit sur les deux vecteurs.

📌 Le produit vectoriel est anticommutatif, car $\vec{A}\wedge\vec{B}=-\vec{B}\wedge\vec{A}$, et le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires ou parallèles est nul.

Compléments

📐 Formule — Dans la base orthonormée $\left(\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$, on a $\vec{i}\wedge\vec{j}=\vec{k}$, $\vec{j}\wedge\vec{k}=\vec{i}$ et $\vec{k}\wedge\vec{i}=\vec{j}$.

💡 Astuce mémo

Un vecteur perpendiculaire au parallélogramme formé par A et B

📖 5. Produit mixte et volume

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit mixte : Le produit mixte du triplet de vecteurs $\vec{A},\vec{B},\vec{C}$ est le nombre réel $V=\vec{C}\cdot\left(\vec{A}\wedge\vec{B}\right)$.
• Signification géométrique : La valeur absolue du produit mixte représente le volume du parallélépipède construit sur les trois vecteurs, égal au produit de la surface de base par le côté latéral.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le produit mixte s’écrit sous forme de déterminant $V=\begin{vmatrix}A_1&A_2&A_3\B_1&B_2&B_3\C_1&C_2&C_3\end{vmatrix}$, calculable notamment par la règle de Sarrus.

💡 Astuce mémo

Produit vectoriel de A et B → projection sur C → volume orienté

📖 6. Champs et opérateurs différentiels

🔑 Notions clés & Définitions

• Champ scalaire : Un champ scalaire est une fonction scalaire du point, notée $U(M)=U(x,y,z)$ pour un point $M(x,y,z)$ de l’espace.
• Champ vectoriel : Fonction vectorielle du point dont les composantes dépendent des coordonnées x, y et z.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le gradient d’un champ scalaire $U(x,y,z)$ est le vecteur $\operatorname{grad}U=\nabla U=\frac{\partial U}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial U}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial U}{\partial z}\vec{k}$.

📐 Formule — Pour un champ vectoriel $\vec{A}=A_1\vec{i}+A_2\vec{j}+A_3\vec{k}$, la divergence est le scalaire $\operatorname{div}\vec{A}=\nabla\cdot\vec{A}=\frac{\partial A_1}{\partial x}+\frac{\partial A_2}{\partial y}+\frac{\partial A_3}{\partial z}$.

Compléments

• Un exemple de champ scalaire est $U(x,y,z)=x^2-y+3z$.

📐 Formule — Le rotationnel d’un champ vectoriel $\vec{A}=A_1\vec{i}+A_2\vec{j}+A_3\vec{k}$ est le vecteur $\operatorname{rot}\vec{A}=\nabla\wedge\vec{A}$, calculé à partir du déterminant des dérivées partielles des composantes.

💡 Astuce mémo

Champ scalaire → gradient ; champ vectoriel → divergence et rotationnel

📖 7. Applications en physique

★ À maîtriser

📐 Formule — La circulation élémentaire d’un champ vectoriel $\vec{A}$ le long d’un déplacement $d\vec{l}$ est $dC=\vec{A}\cdot d\vec{l}$.

📐 Formule — Le travail élémentaire d’une force $\vec{F}$ lors d’un déplacement $d\vec{l}$ est $\delta W=\vec{F}\cdot d\vec{l}=F\,dl\cos\theta$.

📐 Formule — Le moment d’une force $\vec{F}$ appliquée en A par rapport au point O est $\vec{\Gamma}_O=\overrightarrow{OA}\wedge\vec{F}$, et il est perpendiculaire au plan formé par $\overrightarrow{OA}$ et $\vec{F}$.

📐 Formule — Le moment d’une force par rapport à un axe de vecteur unitaire $\vec{U}$ passant par O est la projection $\Gamma_D=\vec{U}\cdot\vec{\Gamma}_O=\vec{U}\cdot\left(\overrightarrow{OA}\wedge\vec{F}\right)$.

Compléments

📌 Le moment d’une force change d’origine selon $\vec{\Gamma}_{O'}=\vec{\Gamma}_O+\overrightarrow{O'O}\wedge\vec{F}$, mais il reste inchangé lorsque $\overrightarrow{O'O}$ et $\vec{F}$ sont colinéaires.

💡 Astuce mémo

Scalaire pour travail, vectoriel pour moment, mixte pour moment axial

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des produits vectoriels