QCM : Rappels de mathématiques vectorielles — 21 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle caractéristique définit une grandeur scalaire comme le temps tt ou la masse mm ?

Elle est caractérisée par une orientation dans l’espace
Elle est caractérisée par une direction et un sens associés
Elle est caractérisée par un module et un point d’application
Elle est caractérisée par un nombre réel représenté par une lettre

Elle est caractérisée par un nombre réel représenté par une lettre

Explication

Une grandeur scalaire est décrite par une valeur numérique réelle, souvent notée par une lettre. Une direction et un sens appartiennent plutôt à la description d’une grandeur vectorielle.

2. Quelle combinaison de caractéristiques décrit correctement une grandeur vectorielle ?

Une valeur numérique associée à une lettre
Un nombre réel, une unité et une valeur numérique
Un module, une masse et une durée mesurée
Une direction, un sens, un module et un point d’application

Une direction, un sens, un module et un point d’application

Explication

Une grandeur vectorielle se caractérise par une direction, un sens, un module et un point d’application. Une simple valeur numérique correspond à une grandeur scalaire, et non à une grandeur vectorielle.

3. Quelle propriété permet d’identifier un vecteur unitaire ?

Son module est égal à 1
Son sens est opposé à celui d’un vecteur donné
Son point d’application coïncide avec l’origine
Sa direction est perpendiculaire à tout autre vecteur

Son module est égal à 1

Explication

Un vecteur unitaire est défini par un module égal à 1, quelle que soit sa direction ou son point d’application. La perpendicularité concerne les vecteurs orthogonaux et ne définit pas le caractère unitaire.

4. Deux vecteurs sont dits orthogonaux lorsque leurs directions sont comment ?

Parallèles et de modules différents
Perpendiculaires
De même longueur et de même sens
Identiques ou opposées

Perpendiculaires

Explication

Des vecteurs orthogonaux ont des directions perpendiculaires. Des directions identiques ou opposées caractérisent plutôt des vecteurs colinéaires.

5. Pour construire graphiquement la somme de deux vecteurs, quelle méthode faut-il appliquer ?

Tracer un vecteur perpendiculaire passant par les deux origines
Superposer les deux origines, puis relier leurs deux extrémités
Placer le second bout à bout du premier, puis relier l’origine du premier à l’extrémité du second
Placer les deux extrémités au même point, puis relier leurs origines

Placer le second bout à bout du premier, puis relier l’origine du premier à l’extrémité du second

Explication

La construction bout à bout place l’origine du second vecteur à l’extrémité du premier, puis le vecteur somme relie l’origine initiale à l’extrémité finale. Superposer les origines ne permet pas d’obtenir directement cette construction.

6. Dans une base orthonormée, quel est le module du vecteur A⃗=A1i⃗+A2j⃗+A3k⃗\vec{A}=A_1\vec{i}+A_2\vec{j}+A_3\vec{k} ?

∥A⃗∥=A12+A22+A32\|\vec{A}\|=A_1^2+A_2^2+A_3^2
∥A⃗∥=A12+A22+A32\|\vec{A}\|=\sqrt{A_1^2+A_2^2+A_3^2}
∥A⃗∥=A1+A2+A3\|\vec{A}\|=\sqrt{A_1+A_2+A_3}
∥A⃗∥=A1+A2+A3\|\vec{A}\|=A_1+A_2+A_3

$$\|\vec{A}\|=\sqrt{A_1^2+A_2^2+A_3^2}$$

Explication

Dans une base orthonormée, le module est la racine carrée de la somme des carrés des composantes. Une simple somme des composantes ne tient pas compte de la définition géométrique de la longueur du vecteur.

7. Quelle expression donne le produit scalaire de deux vecteurs en fonction de leurs modules et de l’angle θ\theta qu’ils forment ?

A⃗⋅B⃗=∥A⃗∥∥B⃗∥cos⁡θ\vec{A}\cdot\vec{B}=\|\vec{A}\|\|\vec{B}\|\cos\theta
A⃗⋅B⃗=∥A⃗−B⃗∥cos⁡θ\vec{A}\cdot\vec{B}=\|\vec{A}-\vec{B}\|\cos\theta
A⃗⋅B⃗=∥A⃗∥∥B⃗∥sin⁡θ\vec{A}\cdot\vec{B}=\|\vec{A}\|\|\vec{B}\|\sin\theta
A⃗⋅B⃗=∥A⃗∥+∥B⃗∥+cos⁡θ\vec{A}\cdot\vec{B}=\|\vec{A}\|+\|\vec{B}\|+\cos\theta

$$\vec{A}\cdot\vec{B}=\|\vec{A}\|\|\vec{B}\|\cos\theta$$

Explication

Le produit scalaire est le produit des deux modules multiplié par le cosinus de l’angle entre les vecteurs. Le sinus intervient dans d’autres relations vectorielles, tandis qu’une différence de vecteurs ne définit pas cette formule.

8. Dans une base orthonormée, comment calcule-t-on le produit scalaire de A⃗\vec{A} et B⃗\vec{B} ?

A⃗⋅B⃗=A12B12+A22B22+A32B32\vec{A}\cdot\vec{B}=A_1^2B_1^2+A_2^2B_2^2+A_3^2B_3^2
A⃗⋅B⃗=A1+B1+A2+B2+A3+B3\vec{A}\cdot\vec{B}=A_1+B_1+A_2+B_2+A_3+B_3
A⃗⋅B⃗=A1B1+A2B2+A3B3\vec{A}\cdot\vec{B}=A_1B_1+A_2B_2+A_3B_3
A⃗⋅B⃗=A1B2+A2B3+A3B1\vec{A}\cdot\vec{B}=A_1B_2+A_2B_3+A_3B_1

$$\vec{A}\cdot\vec{B}=A_1B_1+A_2B_2+A_3B_3$$

Explication

Le produit scalaire additionne les produits des composantes correspondantes. Les produits croisés associent des composantes différentes et ne correspondent pas à la formule du produit scalaire dans une base orthonormée.

9. Quelle propriété caractérise le produit vectoriel A⃗∧B⃗\vec{A}\wedge\vec{B} de deux vecteurs non colinéaires ?

Il appartient au plan de A⃗\vec{A} et B⃗\vec{B} et son orientation suit la règle du trièdre direct.
Il est parallèle à A⃗\vec{A} et sa norme dépend de la projection de B⃗\vec{B} sur ce vecteur.
Il est perpendiculaire au plan de A⃗\vec{A} et B⃗\vec{B} et son orientation suit la règle du trièdre direct.
Il est un nombre réel obtenu en additionnant les composantes correspondantes des deux vecteurs.

Il est perpendiculaire au plan de $$\vec{A}$$ et $$\vec{B}$$ et son orientation suit la règle du trièdre direct.

Explication

Le produit vectoriel est un vecteur normal au plan formé par les deux vecteurs, avec une orientation donnée par le trièdre direct. Le produit scalaire, contrairement à lui, produit un nombre réel associé à une projection.

10. Que devient le produit vectoriel lorsque deux vecteurs sont parallèles ?

Il devient un nombre réel égal à leur produit scalaire.
Il devient un vecteur perpendiculaire aux deux vecteurs, mais de direction indéterminée.
Il devient un vecteur de norme égale au produit de leurs normes.
Il est nul, car l’angle entre les deux vecteurs rend leur produit vectoriel égal à zéro.

Il est nul, car l’angle entre les deux vecteurs rend leur produit vectoriel égal à zéro.

Explication

Pour deux vecteurs parallèles, l’angle vaut 00 ou π\pi, donc sin⁡θ=0\sin\theta=0 et le produit vectoriel est nul. L’anticommutativité concerne l’échange des vecteurs, mais n’explique pas à elle seule ce cas géométrique.

11. Quelle est la nature mathématique du produit mixte V=C⃗⋅(A⃗∧B⃗)V=\vec{C}\cdot(\vec{A}\wedge\vec{B}) ?

C’est un vecteur perpendiculaire au plan de A⃗\vec{A} et B⃗\vec{B}.
C’est une fonction scalaire qui dépend d’un point de l’espace.
C’est une matrice dont les colonnes sont les coordonnées des trois vecteurs.
C’est un nombre réel obtenu par le produit scalaire de C⃗\vec{C} avec un produit vectoriel.

C’est un nombre réel obtenu par le produit scalaire de $$\vec{C}$$ avec un produit vectoriel.

Explication

Le produit vectoriel A⃗∧B⃗\vec{A}\wedge\vec{B} est d’abord un vecteur, puis son produit scalaire avec C⃗\vec{C} donne un nombre réel. Le résultat n’est donc pas un vecteur, contrairement au produit vectoriel intermédiaire.

12. Comment peut-on calculer directement le produit mixte de trois vecteurs en coordonnées cartésiennes ?

En formant le déterminant dont les lignes contiennent les composantes des trois vecteurs.
En formant le produit vectoriel des trois vecteurs sans effectuer de produit scalaire.
En calculant la norme du premier vecteur puis en la multipliant par les deux autres normes.
En additionnant les trois produits scalaires formés avec les vecteurs de base.

En formant le déterminant dont les lignes contiennent les composantes des trois vecteurs.

Explication

Le produit mixte s’exprime comme le déterminant construit avec les composantes des trois vecteurs, et la règle de Sarrus permet notamment de le calculer. Un produit vectoriel seul ne donne pas un nombre réel représentant le produit mixte.

13. Que représente géométriquement la valeur absolue du produit mixte de trois vecteurs non coplanaires ?

La surface du parallélogramme formé par les deux vecteurs les plus longs.
Le volume du parallélépipède construit sur les trois vecteurs.
La somme des longueurs des trois arêtes issues d’un même sommet.
La longueur de la diagonale du parallélépipède construit sur ces vecteurs.

Le volume du parallélépipède construit sur les trois vecteurs.

Explication

La valeur absolue du produit mixte donne le volume du parallélépipède, égal à la surface de la base multipliée par la hauteur correspondante. Une surface de parallélogramme ne représente que la base, sans tenir compte de la dimension perpendiculaire.

14. Quelle expression décrit un champ scalaire dans l’espace ?

Une fonction qui associe un nombre à chaque point, comme U(M)=U(x,y,z)U(M)=U(x,y,z).
Une fonction qui associe une matrice à chaque point, avec neuf composantes coordonnées.
Une constante identique en chaque point, indépendante des coordonnées spatiales.
Une fonction qui associe un vecteur à chaque point, avec trois composantes coordonnées.

Une fonction qui associe un nombre à chaque point, comme $$U(M)=U(x,y,z)$$.

Explication

Un champ scalaire attribue une valeur numérique à chaque point de l’espace et peut s’écrire U(M)=U(x,y,z)U(M)=U(x,y,z). Un champ vectoriel, en revanche, attribue un vecteur dont les composantes varient avec les coordonnées.

15. Pour le champ scalaire U(x,y,z)=x2−y+3zU(x,y,z)=x^2-y+3z, quelle expression représente son gradient ?

∇U=2xi⃗+j⃗−3k⃗\nabla U=2x\vec{i}+\vec{j}-3\vec{k}
∇U=2x−y+3z\nabla U=2x-y+3z
∇U=x2i⃗−yj⃗+3zk⃗\nabla U=x^2\vec{i}-y\vec{j}+3z\vec{k}
∇U=2xi⃗−j⃗+3k⃗\nabla U=2x\vec{i}-\vec{j}+3\vec{k}

$$\nabla U=2x\vec{i}-\vec{j}+3\vec{k}$$

Explication

Le gradient rassemble les dérivées partielles : ∂U∂x=2x\frac{\partial U}{\partial x}=2x, ∂U∂y=−1\frac{\partial U}{\partial y}=-1 et ∂U∂z=3\frac{\partial U}{\partial z}=3. Le gradient est donc un vecteur, tandis que la dernière expression reste un scalaire.

16. Quelle distinction entre un champ vectoriel et un champ scalaire est correcte ?

Un champ vectoriel associe un nombre à chaque point, tandis qu’un champ scalaire associe un vecteur à chaque point.
Un champ vectoriel est constant dans l’espace, tandis qu’un champ scalaire varie nécessairement avec le point.
Un champ vectoriel dépend d’une seule coordonnée, tandis qu’un champ scalaire dépend des trois coordonnées.
Un champ vectoriel associe un vecteur à chaque point, tandis qu’un champ scalaire associe un nombre à chaque point.

Un champ vectoriel associe un vecteur à chaque point, tandis qu’un champ scalaire associe un nombre à chaque point.

Explication

Un champ vectoriel est une fonction vectorielle du point, dont les composantes dépendent des coordonnées, alors qu’un champ scalaire fournit une valeur numérique. La dépendance spatiale ne suffit donc pas à distinguer les deux notions.

17. Pour un champ vectoriel A⃗=A1i⃗+A2j⃗+A3k⃗\vec{A}=A_1\vec{i}+A_2\vec{j}+A_3\vec{k}, quelle expression définit sa divergence ?

div⁡A⃗=∂A1∂xi⃗+∂A2∂yj⃗+∂A3∂zk⃗\operatorname{div}\vec{A}=\frac{\partial A_1}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial A_2}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial A_3}{\partial z}\vec{k}
div⁡A⃗=∂A1∂x+∂A2∂y+∂A3∂z\operatorname{div}\vec{A}=\frac{\partial A_1}{\partial x}+\frac{\partial A_2}{\partial y}+\frac{\partial A_3}{\partial z}
div⁡A⃗=∂2A1∂x2+∂2A2∂y2+∂2A3∂z2\operatorname{div}\vec{A}=\frac{\partial^2 A_1}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 A_2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 A_3}{\partial z^2}
div⁡A⃗=∂A1∂y+∂A2∂z+∂A3∂x\operatorname{div}\vec{A}=\frac{\partial A_1}{\partial y}+\frac{\partial A_2}{\partial z}+\frac{\partial A_3}{\partial x}

$$\operatorname{div}\vec{A}=\frac{\partial A_1}{\partial x}+\frac{\partial A_2}{\partial y}+\frac{\partial A_3}{\partial z}$$

Explication

La divergence additionne les dérivées de chaque composante selon sa coordonnée correspondante et produit un scalaire. L’expression vectorielle proposée correspond à une combinaison de composantes, tandis que le rotationnel est l’opérateur qui produit un vecteur à partir des dérivées croisées.

18. Pour calculer la circulation élémentaire d’un champ vectoriel A⃗\vec{A} le long d’un déplacement dl⃗d\vec{l}, quelle opération faut-il effectuer ?

Calculer la norme de la somme ∥A⃗+dl⃗∥\|\vec{A}+d\vec{l}\|
Projeter dl⃗d\vec{l} sur un vecteur perpendiculaire à A⃗\vec{A}
Utiliser le produit vectoriel A⃗∧dl⃗\vec{A}\wedge d\vec{l}
Utiliser le produit scalaire A⃗⋅dl⃗\vec{A}\cdot d\vec{l}

Utiliser le produit scalaire $$\vec{A}\cdot d\vec{l}$$

Explication

La circulation élémentaire est définie par le produit scalaire dC=A⃗⋅dl⃗dC=\vec{A}\cdot d\vec{l}. Le produit vectoriel intervient plutôt dans le moment d’une force et ne représente donc pas cette circulation.

19. Une force F⃗\vec{F} de norme FF agit pendant un déplacement élémentaire de longueur dldl, en formant un angle θ\theta avec celui-ci. Quelle expression donne le travail élémentaire ?

δW=F+dlcos⁡θ\delta W=F+dl\cos\theta
δW=F dlcos⁡θ\delta W=F\,dl\cos\theta
δW=F dlsin⁡θ\delta W=F\,dl\sin\theta
δW=F dltan⁡θ\delta W=F\,dl\tan\theta

$$\delta W=F\,dl\cos\theta$$

Explication

Le travail élémentaire est le produit scalaire δW=F⃗⋅dl⃗=F dlcos⁡θ\delta W=\vec{F}\cdot d\vec{l}=F\,dl\cos\theta. L’expression avec le sinus correspondrait à une composante perpendiculaire plutôt qu’à la composante de la force dans la direction du déplacement.

20. Dans quelle configuration le travail élémentaire d’une force est-il maximal pour une force et un déplacement de normes fixées ?

Lorsque la force est opposée au déplacement
Lorsque la force forme un angle de 45 degrés
Lorsque la force est perpendiculaire au déplacement
Lorsque la force est parallèle au déplacement

Lorsque la force est parallèle au déplacement

Explication

Comme δW=F dlcos⁡θ\delta W=F\,dl\cos\theta, le travail est maximal lorsque cos⁡θ=1\cos\theta=1, donc lorsque la force et le déplacement sont parallèles et de même sens. Une force perpendiculaire donne un travail nul, tandis qu’une force opposée produit un travail négatif.

21. Une force F⃗\vec{F} est appliquée au point A par rapport au point O. Quelle relation vectorielle décrit son moment en O ?

Γ⃗O=OA→⋅F⃗\vec{\Gamma}_O=\overrightarrow{OA}\cdot\vec{F}
Γ⃗O=OA→∧F⃗\vec{\Gamma}_O=\overrightarrow{OA}\wedge\vec{F}
Γ⃗O=F⃗∧OA→\vec{\Gamma}_O=\vec{F}\wedge\overrightarrow{OA}
Γ⃗O=AO→∧F⃗\vec{\Gamma}_O=\overrightarrow{AO}\wedge\vec{F}

$$\vec{\Gamma}_O=\overrightarrow{OA}\wedge\vec{F}$$

Explication

Le moment de la force par rapport à O est défini par Γ⃗O=OA→∧F⃗\vec{\Gamma}_O=\overrightarrow{OA}\wedge\vec{F}. Le produit scalaire donne une grandeur différente, tandis que l’inversion de l’ordre du produit vectoriel ou du vecteur de position change le signe du moment.

Révisez avec les flashcards

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Comment se caractérise une grandeur scalaire ?

Par un nombre réel.

Quelles sont les caractéristiques d'une grandeur vectorielle ?

Une direction, un sens, un module et un point d’application.

Qu'est-ce qui différencie deux vecteurs équipollents ?

Ils ont le même module, direction et sens.

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