Fiche de révision : Régime sinusoïdal monophasé

📋 Plan du Cours

1. synthesisTables
2. Période fréquence et phase
3. Valeurs moyenne et efficace
4. Représentation par vecteurs de Fresnel
5. Grandeurs complexes sinusoïdales
6. Déphasage entre deux grandeurs
7. Applications et méthodes de calcul

📖 1. synthesisTables

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur instantanée : S’écrit $u(t)=U_{\max}\sin(\omega t+\varphi)$.
• Amplitude : L’amplitude ou valeur maximale $U_{\max}$ est la plus grande valeur que peut prendre une grandeur sinusoïdale, avec $-U_{\max}<u(t)<U_{\max}$.
• Pulsation : La pulsation $\omega$ caractérise l’évolution angulaire d’un signal sinusoïdal et s’exprime en radians par seconde.
• Phase à l’origine : La phase à l’origine $\varphi$ est la phase du signal au début des temps et s’exprime en radians.

📖 2. Période fréquence et phase

★ À maîtriser

📐 Formule — La période et la pulsation vérifient $\omega T=2\pi$, donc $\omega=\frac{2\pi}{T}$.

📐 Formule — La pulsation et la fréquence vérifient $\omega=2\pi f$ avec $T=\frac{1}{f}$.

Compléments

• Pour un signal dont une période occupe 8 carreaux, un carreau correspond à $\frac{\pi}{4}$ rad, car une période correspond à $2\pi$ rad.

• Avec les références Y1 à Y5, les phases à l’origine sont respectivement 0, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$ et $-\frac{\pi}{4}$.

💡 Astuce mémo

Y1 donne φ = 0, tandis que Y5 donne φ négatif

📖 3. Valeurs moyenne et efficace

📝 Points essentiels

📐 Formule — La valeur moyenne d’une grandeur sur une période est $U_{\mathrm{moy}}=\frac{1}{T}\int_0^T u(t)\,dt$.

• La valeur moyenne d’une fonction sinusoïdale est nulle, soit $U_{\mathrm{moy}}=0\ \mathrm{V}$.

📐 Formule — La valeur efficace est définie par $U_{\mathrm{eff}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T u^2(t)\,dt}$.

📐 Formule — Pour une fonction sinusoïdale, la valeur efficace vaut $U_{\mathrm{eff}}=\frac{U_{\max}}{\sqrt{2}}$.

💡 Astuce mémo

Moyenne sinusoïdale = 0, efficace = amplitude divisée par √2

📖 4. Représentation par vecteurs de Fresnel

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur de Fresnel : Le vecteur de Fresnel associé à $u(t)=U_{\max}\sin(\omega t+\varphi)$ a pour origine O, un angle orienté $\varphi$ avec l’axe de référence et une norme représentative de la valeur efficace U.

📝 Points essentiels

📌 Pour construire un diagramme de Fresnel, on choisit une origine O, un axe de référence des phases et le sens trigonométrique comme sens positif.

📌 Les vecteurs de Fresnel évitent certains calculs mais leurs constructions graphiques peuvent être longues et manquer de précision.

💡 Astuce mémo

Des vecteurs tournent dans le plan, leur longueur représentant la valeur efficace

📖 5. Grandeurs complexes sinusoïdales

🔑 Notions clés & Définitions

• Grandeur complexe associée : À une grandeur sinusoïdale $u(t)=U_{\max}\sin(\omega t+\varphi)$, on associe une grandeur complexe de module U, valeur efficace de u, et d’argument $\varphi$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Une grandeur complexe s’écrit sous les formes $\underline{U}=U(\cos\varphi+j\sin\varphi)=Ue^{j\varphi}$.

Compléments

📌 Lorsque seules les phases relatives sont utiles, on peut choisir une grandeur comme origine des phases et la placer sur l’axe réel.

💡 Astuce mémo

Module → argument → forme algébrique, trigonométrique ou exponentielle

📖 6. Déphasage entre deux grandeurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Déphasage : Le déphasage de i par rapport à u est la différence $\varphi=\varphi_u-\varphi_i$ entre leurs phases à l’origine.

★ À maîtriser

📌 Si $\varphi>0$, u est en avance sur i, tandis que si $\varphi<0$, u est en retard sur i.

• Un déphasage nul correspond à des grandeurs en phase, un déphasage de $\pi$ à une opposition de phase, un déphasage de $\frac{\pi}{2}$ à une quadrature avance et un déphasage de $-\frac{\pi}{2}$ à une quadrature retard.

Compléments

• Pour déterminer expérimentalement un déphasage, on convertit d’abord les carreaux de l’oscilloscope en degrés à partir de la période, puis on mesure le décalage entre les deux signaux.

💡 Astuce mémo

φ > 0 : u est en avance ; φ < 0 : u est en retard

📖 7. Applications et méthodes de calcul

★ À maîtriser

• L’étude d’un oscillogramme consiste à déterminer la période, puis la fréquence et la pulsation, avant de calculer les valeurs moyenne et efficace.

• Pour additionner ou soustraire des grandeurs sinusoïdales, on peut les représenter par des vecteurs de Fresnel ou par des nombres complexes.

Compléments

• Pour $i_1=4\sqrt{2}\sin(\omega t+\frac{\pi}{6})$ et $i_2=6\sqrt{2}\sin(\omega t+\frac{\pi}{3})$, l’addition complexe donne $\underline{I_3}=9{,}68\angle48{,}07^\circ$ et $i_3=9{,}68\sqrt{2}\sin(\omega t+48{,}07^\circ)$.

💡 Astuce mémo

Oscillogramme → expression temporelle → Fresnel ou complexes

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des représentations sinusoïdales