QCM : Relations de comparaison des suites (9 questions)

Question 1

1. Laquelle de ces conditions caractérise la relation $x=O(y)$ entre deux suites ?

Le quotient

x_n/y_n

est borné à partir d’un certain rang

La suite

y_n

converge nécessairement vers zéro

La suite

x_n/y_n

diverge vers l’infini

Le quotient

x_n/y_n

converge vers zéro

Explication

La domination $x=O(y)$ signifie que $y_n$ est non nul à partir d’un certain rang et que le quotient $x_n/y_n$ est borné. Une convergence du quotient vers zéro caractérise plutôt la négligeabilité.

Answer

Le quotient $x_n/y_n$ est borné à partir d’un certain rang

Question 2

2. Si $x=o(y)$ et si $y_n$ est non nul à partir d’un certain rang, quelle conclusion peut-on tirer ?

On a nécessairement

y=O(x)

La suite

x_n

est nécessairement bornée

On a nécessairement

x=O(y)

Le quotient

x_n/y_n

est nécessairement constant

Explication

La négligeabilité implique la domination : si le quotient $x_n/y_n$ tend vers zéro, il est notamment borné à partir d’un certain rang. On obtient donc $x=O(y)$ .

Answer

On a nécessairement $x=O(y)$

Question 3

3. Pour deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $\alpha<\beta$ , quelle comparaison est correcte ?

Les deux suites sont toujours équivalentes

n^\alpha=o(n^\beta)

n^\beta=o(n^\alpha)

n^\alpha=O(n^\beta)

est toujours fausse

Explication

Une puissance de $n$ associée à un exposant plus petit est négligeable devant celle associée à un exposant plus grand : $n^\alpha=o(n^\beta)$ lorsque $\alpha<\beta$ .

Answer

$n^\alpha=o(n^\beta)$

Question 4

4. Soient $0<a<b$ . Quelle relation décrit correctement la comparaison des suites exponentielles correspondantes ?

b^n=o(a^n)

a^n=o(n^b)

pour tout réel

b

a^n=o(b^n)

a^n

et

b^n

sont toujours équivalentes

Explication

Lorsque les bases sont positives et vérifient $a<b$ , la suite de plus petite base est négligeable devant celle de plus grande base : $a^n=o(b^n)$ .

Answer

$a^n=o(b^n)$

Question 5

5. Quelle est la définition de la négligeabilité entre deux suites x et y ?

x est négligeable devant y si x est de même ordre que y.

x est négligeable devant y si x/y converge vers 1 lorsque n tend vers l'infini.

x est négligeable devant y si x/y converge vers 0 lorsque n tend vers l'infini.

x est négligeable devant y si x est bornée et y tend vers l'infini.

Explication

La négligeabilité x=o(y) signifie que le rapport x/y tend vers 0, indiquant que x devient insignifiante devant y à l'infini. La réponse 1 décrit une relation différente, celle de l'ordre, et la 3 correspond à l'équivalence.

Answer

x est négligeable devant y si x/y converge vers 0 lorsque n tend vers l'infini.

Question 6

6. Quel est le rôle principal de la comparaison des suites usuelles dans l'analyse asymptotique ?

Calculer la somme ou le produit de deux suites.

Déterminer si deux suites ont la même limite finie.

Vérifier si deux suites sont égales pour tout rang.

Établir la dominance ou la négligeabilité entre deux suites.

Explication

La comparaison des suites usuelles sert principalement à établir si une suite est dominante ou négligeable par rapport à une autre, ce qui est essentiel pour l'analyse asymptotique.

Answer

Établir la dominance ou la négligeabilité entre deux suites.

Question 7

7. Quand peut-on dire que deux suites x et y sont équivalentes, noté x~ y ?

Lorsque y_n est finalement non nul et que le rapport x_n/y_n converge vers 1.

Lorsque x_n et y_n ont la même limite finie.

Lorsque x_n - y_n tend vers 0.

Lorsque y_n est nul à partir d’un certain rang.

Explication

L'équivalence x~ y est définie lorsque y_n est finalement non nul et que le rapport x_n/y_n converge vers 1, ce qui indique que les deux suites ont le même terme dominant.

Answer

Lorsque y_n est finalement non nul et que le rapport x_n/y_n converge vers 1.

Question 8

8. Quelle est la principale différence entre la relation d'équivalence $x \sim y$ et la relation de négligeabilité $x=o(y)$ entre deux suites ?

L'équivalence est une relation symétrique, alors que la négligeabilité ne l'est pas.

L'équivalence nécessite que

x_n

et

y_n

soient de même signe à partir d'un certain rang, alors que la négligeabilité ne le requiert pas.

L'équivalence concerne la convergence de

x_n

vers une limite, alors que la négligeabilité concerne la croissance de

x_n

par rapport à

y_n

.

L'équivalence implique que le rapport

\frac{x_n}{y_n}

tend vers 1, tandis que la négligeabilité implique que ce rapport tend vers 0.

Explication

L'équivalence $x \sim y$ signifie que $\frac{x_n}{y_n} \to 1$ , indiquant que les deux suites ont le même terme dominant, alors que $x=o(y)$ signifie que $\frac{x_n}{y_n} \to 0$ , ce qui montre que $x$ devient négligeable devant $y$ .

Answer

L'équivalence implique que le rapport $$rac{x_n}{y_n}$$ tend vers 1, tandis que la négligeabilité implique que ce rapport tend vers 0.

Question 9

9. Qui est crédité de la formulation de la définition de l'équivalence entre deux suites dans l'analyse asymptotique ?

Paul Lévy

Isaac Newton

Jean-Pierre Serre

Augustin-Louis Cauchy

Explication

Cauchy est reconnu pour avoir introduit la notion d'équivalence de suites dans le contexte de l'analyse asymptotique, notamment pour la rigueur dans la comparaison de comportements asymptotiques.

Answer

Augustin-Louis Cauchy

QCM : Relations de comparaison des suites (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle de ces conditions caractérise la relation $x=O(y)$ entre deux suites ?

2. Si $x=o(y)$ et si $y_n$ est non nul à partir d’un certain rang, quelle conclusion peut-on tirer ?

3. Pour deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $\alpha<\beta$ , quelle comparaison est correcte ?

4. Soient $0<a<b$ . Quelle relation décrit correctement la comparaison des suites exponentielles correspondantes ?

5. Quelle est la définition de la négligeabilité entre deux suites x et y ?

6. Quel est le rôle principal de la comparaison des suites usuelles dans l'analyse asymptotique ?

7. Quand peut-on dire que deux suites x et y sont équivalentes, noté x~ y ?

8. Quelle est la principale différence entre la relation d'équivalence $x \sim y$ et la relation de négligeabilité $x=o(y)$ entre deux suites ?

9. Qui est crédité de la formulation de la définition de l'équivalence entre deux suites dans l'analyse asymptotique ?

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QCM : Relations de comparaison des suites (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle de ces conditions caractérise la relation x=O(y)x=O(y)x=O(y) entre deux suites ?

2. Si x=o(y)x=o(y)x=o(y) et si yny_nyn​ est non nul à partir d’un certain rang, quelle conclusion peut-on tirer ?

3. Pour deux réels α\alphaα et β\betaβ tels que α<β\alpha<\betaα<β, quelle comparaison est correcte ?

4. Soient 0<a<b0<a<b0<a<b. Quelle relation décrit correctement la comparaison des suites exponentielles correspondantes ?

5. Quelle est la définition de la négligeabilité entre deux suites x et y ?

6. Quel est le rôle principal de la comparaison des suites usuelles dans l'analyse asymptotique ?

7. Quand peut-on dire que deux suites x et y sont équivalentes, noté x~ y ?

8. Quelle est la principale différence entre la relation d'équivalence x∼yx \sim yx∼y et la relation de négligeabilité x=o(y)x=o(y)x=o(y) entre deux suites ?

9. Qui est crédité de la formulation de la définition de l'équivalence entre deux suites dans l'analyse asymptotique ?

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1. Laquelle de ces conditions caractérise la relation $x=O(y)$ entre deux suites ?

2. Si $x=o(y)$ et si $y_n$ est non nul à partir d’un certain rang, quelle conclusion peut-on tirer ?

3. Pour deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $\alpha<\beta$ , quelle comparaison est correcte ?

4. Soient $0<a<b$ . Quelle relation décrit correctement la comparaison des suites exponentielles correspondantes ?

8. Quelle est la principale différence entre la relation d'équivalence $x \sim y$ et la relation de négligeabilité $x=o(y)$ entre deux suites ?