Fiche de révision : Résolution de problèmes en mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Enjeux de la résolution de problèmes
2. Définir une situation-problème
3. Manipuler et expérimenter
4. Représenter et abstraire
5. Formuler et valider
6. Apprendre à résoudre des problèmes
7. Organiser une séance de résolution
8. Choisir et analyser un problème

📖 1. Enjeux de la résolution de problèmes

★ À maîtriser

• Les évaluations nationales font apparaître deux domaines de difficulté : le calcul mental et la résolution de problèmes.

• La résolution de problèmes engage les élèves à :

  • chercher
  • émettre des hypothèses
  • élaborer des stratégies
  • confronter des idées pour trouver un résultat

• Les scores moyens des élèves de CM1 en France à TIMSS 2023 sont stables par rapport à 2019, mais restent inférieurs aux moyennes européenne et internationale en mathématiques et en sciences.

Compléments

• Dans les comparaisons internationales PISA et TIMSS, les élèves français montrent particulièrement des faiblesses lorsqu’ils doivent prendre des initiatives.

• En France, l’écart de performance entre filles et garçons à TIMSS 2023 s’accroît en faveur des garçons.

• En France, l’écart de scores entre les élèves les plus favorisés et les moins favorisés est parmi les plus importants.

• À TIMSS 2023, le score des élèves français au processus « raisonner » en sciences est inférieur de 9 points au score global de sciences.

📖 2. Définir une situation-problème

🔑 Notions clés & Définitions

• Problème : Dominique Valentin - Un problème est une situation initiale avec un but à atteindre, qui demande au sujet d’élaborer une suite d’actions et d’opérations, alors que la solution n’est pas disponible d’emblée mais peut être construite.
• Problème : Equipe Ermel- INRP - Il y a problème lorsqu’il y a réellement quelque chose à chercher, au niveau des données ou du traitement, et que la mémoire seule ne suffit pas à le résoudre.

★ À maîtriser

• La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique, est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages.

Compléments

• Les six compétences mathématiques sont :
  • chercher
  • représenter
  • modéliser
  • raisonner
  • calculer
  • communiquer

💡 Astuce mémo

La solution n’est pas disponible d’emblée : elle doit être construite.

📖 3. Manipuler et expérimenter

🔑 Notions clés & Définitions

• Manipulation : La manipulation est une phase d’action sur des objets tangibles ou symboliques, qui peut inclure déplacer, manier, toucher, palper, actionner, mettre en œuvre, utiliser, opérer ou calculer.

★ À maîtriser

📌 La manipulation passive ne comporte pas d’intentionnalité envers l’objet d’apprentissage ou la résolution du problème, tandis que la manipulation active en comporte une.

• La manipulation active ne garantit pas les apprentissages, mais peut enclencher le processus d’apprentissage.

Compléments

• La manipulation passive peut constituer une étape intermédiaire vers une manipulation active.

💡 Astuce mémo

Passive : sans intentionnalité ; active : avec intentionnalité.

📖 4. Représenter et abstraire

★ À maîtriser

• Le passage à l’abstraction vise à faire évoluer progressivement l’élève de la perception (« je vois ») vers le savoir (« je sais »), de l’objet vers le concept. - Dias, 2018

• Les trois modes de représentation sont (Bruner (1973) ; Barth (1987)) :

  • le mode énactif, où l’on agit
  • le mode iconique, où l’on représente
  • le mode symbolique, où l’on symbolise

Compléments

• Dans le mode énactif, l’information passe par l’action et l’on connaît quelque chose parce qu’on sait le faire. - Bruner, 1973

• Dans le mode iconique, l’action est transformée en image mentale, ce qui permet de représenter quelque chose sans l’avoir sous les yeux. - Barth

• Dans le mode symbolique, les symboles sont déconnectés et arbitraires : un mot ne ressemble pas à son signifié et ne le désigne pas directement. - Barth

• Les modes énactif, iconique et symbolique ne sont ni ordonnés ni chronologiques et peuvent être mobilisés simultanément, chacun marquant une montée en puissance dans l’abstraction.

📖 5. Formuler et valider

★ À maîtriser

• Dans une démarche de résolution, l’élève peut :
  • manipuler
  • expérimenter
  • formuler des hypothèses
  • valider et contrôler

Compléments

• Dans le problème du papier déchiré, on peut :

  • déchirer le papier
  • garder des traces et anticiper
  • valider empiriquement selon le nombre visé
  • utiliser la division euclidienne

• Dans le problème du papier déchiré, 2021 morceaux ne peuvent pas être atteints, car 2021 est impair.

💡 Astuce mémo

Manipuler, expérimenter, formuler des hypothèses, puis valider.

📖 6. Apprendre à résoudre des problèmes

★ À maîtriser

• Les méthodes générales de résolution supposent à tort qu’il existe une aptitude générale indépendante des connaissances notionnelles, alors que les tâches de lecture et de traitement de l’information font partie de la résolution elle-même.

• Houdement distingue trois types de problèmes :

  • problèmes basiques
  • problèmes complexes
  • problèmes atypiques

📌 Un problème complexe n’est pas une suite de problèmes basiques, mais un agrégat ; le transfert d’un domaine à l’autre n’est pas trivial et il n’existe pas de compétence générale de résolution de problèmes. - Houdement

• Cinq tâches sont à gérer simultanément (Houdement) :
  • comprendre l’énoncé et organiser les données
  • choisir ou élaborer une procédure
  • exécuter la procédure
  • contrôler et apprécier la vraisemblance du résultat
  • communiquer et justifier

📌 La connaissance opératoire est personnelle et locale, tandis que les savoirs déclaratifs sont socialement situés et soutiennent la réflexivité et la conceptualisation ; résoudre ne suffit donc pas, il faut aussi dire quelque chose de la résolution.

Compléments

• Dans le problème du verger, 12 rangées de 25 pommiers produisent chacune en moyenne 75 pommes, et chaque cagette contient 75 pommes ; l’énoncé fournit aussi les dimensions du terrain et des cagettes ainsi que la moyenne de 8 pommes par kilogramme. - Camenisch & Petit, 2006

• Selon la théorie des situations didactiques de Brousseau et la théorie des champs conceptuels de Vergnaud, le sens des connaissances réside dans leur capacité à résoudre des problèmes.

• Dans une situation didactique de recherche, l’enseignant cherche à faire dévolution à l’élève d’une situation adidactique, et l’élève fait fonctionner puis modifie son système de connaissances. - Front, 2015

• Une situation didactique de recherche repose sur un projet commun : s’engager dans la résolution, élaborer des résultats au moins partiels et faire naître des savoirs sur des objets nouveaux, avec une forte dimension expérimentale. - Front, 2015

📖 7. Organiser une séance de résolution

★ À maîtriser

• Une séance de résolution de problèmes peut s’organiser en cinq étapes : expliciter les attendus, présenter le problème, chercher seul puis en groupe, mettre en commun, puis synthétiser les apprentissages.

📌 La mise en commun porte davantage sur les procédures que sur les résultats ; les procédures inabouties ont un statut et peuvent être plus intéressantes que les procédures abouties.

📌 L’action consiste à tenter de résoudre et mobilise l’opérationnalité et le sens des connaissances, la formulation consiste à tenter de dire comment on a fait et soutient l’objectivation et le retour réflexif, tandis que la validation consiste à dire pourquoi cela fonctionne ou non et appelle des arguments mathématiques ainsi qu’une confrontation sociale. - Brousseau, 1998

Compléments

• La mise en commun demande à l’enseignant de jouer le rôle de chef d’orchestre et aux élèves de décrire, rapprocher, débattre et valider les procédures.

• Passer de l’action à la formulation puis à la validation suppose de produire un méta-discours, ce qui nécessite des aménagements et un accompagnement. - Brousseau, 1998

• Ne pas réussir à expliquer ce qu’on a fait ne signifie pas qu’on n’a pas réussi la tâche, car le méta-discours est difficile et socialement discriminant.

💡 Astuce mémo

Action → formulation → validation : tenter, expliquer, justifier.

📖 8. Choisir et analyser un problème

🔑 Notions clés & Définitions

• Stratégie : Julo - Niveau de description global qui rend compte de l’orientation générale de l’activité de résolution.
• Procédure : Suite d’actions ou d’opérations mise en œuvre par les élèves pour atteindre le but du problème et qui peut emprunter à une ou plusieurs stratégies identifiées a priori.

★ À maîtriser

• Un problème de recherche présente idéalement un énoncé court, ne donnant ni la méthode ni la solution, dans un domaine conceptuel familier aux élèves, permettant une dimension expérimentale et articulant mobilisation et approfondissement des connaissances avec le développement d’heuristiques. - Gardes, 2013, 2018

Compléments

• Un problème mathématique doit être difficile sans être inabordable, et la découverte de la solution doit récompenser les efforts de recherche. - Ghys, 2010

• Les stratégies de résolution identifiées par Charnay comprennent :

  • les essais et ajustements
  • l’étude exhaustive des cas
  • le recours à la déduction
  • la démarche descendante
  • la démarche remontante

• L’analyse a priori d’un problème examine les stratégies et procédures possibles ainsi que les moyens disponibles pour contrôler le résultat ; les procédures peuvent mobiliser un tableau, un schéma, un calque ou des calculs.

• Il est extrêmement rare qu’un problème puisse être résolu par une unique stratégie ou procédure.

• L’analyse d’un problème de recherche le distingue d’un exercice d’application, d’un problème basique ou d’un enchaînement de problèmes basiques, et d’un problème complexe.

• Un problème de recherche doit permettre de faire vivre les six compétences mathématiques.