Fiche de révision : Expérimentation et résolution de problèmes

📋 Plan du Cours

1. Pavages par polygones réguliers
2. Construire les savoirs mathématiques
3. Raisonner par expérimentation
4. Évolution des signes mathématiques
5. Organiser une séance de problèmes
6. Faire vivre la mise en commun
7. Évaluations et thèmes du semestre

📖 1. Pavages par polygones réguliers

★ À maîtriser

• Autour d’un nœud d’un pavage, la somme des angles vaut 360° et il y a au moins trois polygones.

📌 Dans un pavage semi-régulier d’ordre 3 de type (x, y, z), si z est impair, alors x = y.

• Il existe 11 pavages archimédiens, également appelés pavages 1-réguliers.

Compléments

• Un pavage du plan par des polygones réguliers est étudié à partir de la question de recherche « Peut-on paver le plan avec des polygones réguliers ? ».

• Dans un pavage par polygones réguliers, les longueurs des côtés des polygones sont congruentes.

• Autour d’un nœud d’un pavage, il y a au plus six polygones et au plus trois types de polygones différents.

📖 2. Construire les savoirs mathématiques

★ À maîtriser

• La science expérimentale se constitue par l’articulation de l’empirique et du rationnel, selon Bkouche (1982).

• La multiplication des expériences appuyées sur des objets, méthodes et connaissances naturalisés favorise l’élaboration de nouveaux objets conceptuels, de leurs propriétés, de résultats et de preuves, et contribue à la conceptualisation.

Compléments

📌 Les objets familiers sont déjà fréquentés, tandis que les objets naturalisés sont suffisamment familiers pour que les résultats des actions soient considérés comme fiables, selon Durand-Guerrier (2010).

• L’hypothèse didactique présentée fait de la prise en compte explicite du caractère expérimental des mathématiques une nécessité de la maternelle à l’université.

• L’enseignement expérimental nécessite de penser et d’organiser les articulations entre abstrait et concret.

💡 Astuce mémo

Les expériences articulées aux connaissances font émerger de nouveaux objets et propriétés.

📖 3. Raisonner par expérimentation

★ À maîtriser

• Selon Dias (2008) et Gardes (2013), l’expérimentation est un processus dialectique empirique-théorique qui prend sens par ses articulations avec la formulation et la validation.

• 🔄 La démarche expérimentale peut suivre ces étapes : (Perrin, 2007) :

  1. Expérience
  2. Observation de l’expérience
  3. Formulation de conjectures
  4. Tentative de preuve
  5. Contre-expérience
  6. Production éventuelle de contre-exemples
  7. Formulation de nouvelles conjectures
  8. Nouvelles tentatives de preuve

Compléments

• Le raisonnement expérimental intervient en amont pour élaborer une expérience pertinente et en aval pour lire les résultats.

• L’expérience vérifie l’adéquation entre théorie et expérience afin de contribuer à créer de nouveaux objets mathématiques.

💡 Astuce mémo

Expérience → observation → conjecture → preuve → contre-expérience.

📖 4. Évolution des signes mathématiques

★ À maîtriser

• 🔄 Le signe peut évoluer ainsi :
  1. Intuition ou icône
  2. Indice
  3. Symbole-argument

Compléments

• Le signe Σ angl = 360 peut d’abord fonctionner comme une icône, être questionné, puis devenir un indice et un symbole-argument.

• Dans la recherche de conditions pour les pavages réguliers, l’expérimentation fait émerger une condition nécessaire sur la somme des angles autour d’un nœud.

• Pour les pavages archimédiens, une condition nécessaire mais non suffisante émerge et conduit à rechercher des exemples.

💡 Astuce mémo

Icône → indice → symbole-argument.

📖 5. Organiser une séance de problèmes

★ À maîtriser

• Une séance de résolution de problèmes comprend cinq étapes : expliciter les attendus, présenter le problème, chercher seul puis en groupe, mettre en commun pour débattre et valider, puis institutionnaliser les apprentissages.

Compléments

• Lors de la mise en commun, les élèves décrivent, rapprochent, débattent et valident, tandis que l’enseignant joue le rôle de chef d’orchestre.

💡 Astuce mémo

Expliciter → présenter → chercher → débattre → institutionnaliser.

📖 6. Faire vivre la mise en commun

★ À maîtriser

• La mise en commun porte davantage sur la formulation des procédures que sur les résultats.

Compléments

• Les procédures inabouties ont un statut dans la mise en commun et peuvent être plus intéressantes que les procédures abouties.

• Ne pas réussir à expliquer ce qu’on a fait ne signifie pas qu’on n’a pas réussi la tâche, car le méta-discours est difficile et socialement discriminant.

💡 Astuce mémo

Les procédures, même inabouties, comptent davantage que le seul résultat.

📖 7. Évaluations et thèmes du semestre

★ À maîtriser

• Le contrôle continu comprend trois évaluations individuelles sur table de 30 minutes, réparties sur le semestre.

Compléments

• Les thèmes du semestre 1 sont :

  • Numération
  • Nombres en maternelle
  • Géométrie des solides et structuration de l’espace
  • Patterns
  • Fractions et décimaux
  • Problèmes ouverts

• Les évaluations portent sur :

  • Les mathématiques travaillées durant les mises en train
  • Des questions de cours sur le vocabulaire
  • Des analyses a priori d’énoncés
  • Des analyses de productions d’élèves
  • Des propositions de différenciation
  • Des propositions de remédiations

• Les évaluations du semestre 1 sont prévues les 28 ou 29 septembre, le 9 novembre et le 14 ou 16 décembre.