Fiche de révision : Résolution et analyse des systèmes linéaires

📌 L'essentiel

• Un système linéaire est constitué d’équations impliquant plusieurs inconnues.
• La méthode de résolution principale est celle du pivot de Gauss.
• La forme échelonnée facilite l’identification des solutions.
• Les systèmes homogènes ont toujours au moins la solution triviale.
• La différence entre solutions uniques, infinitié ou inexistantes dépend de la forme finale.
• Les opérations élémentaires sur les lignes préservent l’ensemble des solutions.
• La solution générale combine une solution particulière et celles du système homogène.
• Variables associées aux pivots sont principales, autres sont libres.
• La résolution nécessite souvent une paramétrisation des inconnues libres.
• La compréhension des systèmes s’étend aux applications en géométrie et optimisation.

📖 Concepts clés

Système linéaire : Ensemble d’équations de la forme $a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1p}x_p = b_1$, etc., où $a_{ij}$ et $b_i$ sont donnés.
Système homogène : Système où tous les $b_i$ sont nuls. La solution triviale existe toujours.
Solution : Ensemble de $p$-uplets $(x_1, \dots, x_p)$ vérifiant toutes les équations.
Opérations élémentaires : Échange de lignes, multiplication d’une ligne par un scalaire non nul, addition d’un multiple d’une ligne à une autre.
Matrice échelonnée : Forme où chaque pivot est situé plus à droite que celui de la ligne précédente.

📐 Formules et lois

Solution générale : Pour un système non homogène, elle s’écrit $\mathbf{x} = \mathbf{x}_p + \mathbf{x}_h$ où $\mathbf{x}_p$ est une solution particulière et $\mathbf{x}_h$ appartient à l’espace solution du système homogène.
Opérations sur les lignes :

• $L_i \leftrightarrow L_j$ : échange deux lignes.
• $L_i \leftarrow \alpha L_i$ avec $\alpha \neq 0$ : multiplication d’une ligne.
• $L_i \leftarrow L_i + \beta L_j$ : addition d’une ligne à une autre.

Méthode de Gauss : La transformation en forme échelonnée élimine les coefficients sous les pivots pour résoudre par substitution.

🔍 Méthodes

1. Représenter le système sous forme matricielle (matrice augmentée).
2. Appliquer des opérations élémentaires pour obtenir la matrice échelonnée.
3. Identifier les pivots (coefficients non nuls en début de ligne).
4. Vérifier la cohérence du système :
   • Si une ligne réduit à $0 = b$ avec $b \neq 0$, le système est incompatible.
   • Sinon, continuer.
5. Déterminer les variables principales (aux pivots) et libres.
6. Résoudre par substitution, prenant en compte la paramétrisation pour variables libres.
7. En cas de système non homogène, ajouter une solution particulière.

💡 Exemples

• Résolution d’un système 2x2 par élimination de Gauss.
• Expression de variables principales en fonction de variables libres dans un système à infinitié solutions.
• Contradiction dans une ligne réduite, exemple : ligne $0 = 2$ prouvant l’incompatibilité.

⚠️ Pièges

• Confondre étape d’élimination et vérification finale de solutions.
• Oublier que le choix du pivot doit respecter la non-négativité.
• Confusion entre solutions uniques, infinies ou aucune.
• Négliger la paramétrisation des variables libres.
• Négliger la vérification de contradictions à la fin de réduction.

📊 Synthèse comparative