Fiche de révision : Résolution graphique d'équations et inéquations

📌 L'essentiel

• La résolution graphique consiste à tracer deux courbes pour déterminer leurs points d'intersection.
• Solutions d'une équation : abscisses des points d’intersection des courbes.
• Solutions d'une inéquation : régions où une courbe est au-dessus ou en dessous de l'autre.
• La réunion d'intervalles représente l'ensemble des solutions où la condition est vérifiée.
• La compréhension du positionnement des courbes permet d’anticiper l’ensemble des solutions.
• La distinction entre solutions d'égalité et d'inégalité est fondamentale.

📖 Concepts clés

Équation d'une courbe : Ensemble des points (x, y) vérifiant une relation donnée, généralement y=f(x).
Solution graphique : Point ou ensemble de points où deux courbes se croisent, solution de l’équation.
Inéquation : Condition exprimant une relation de strict ou large inégalité entre deux expressions, par exemple f(x) < g(x).
Réunion d'intervalles : Union de plusieurs intervalles, représentant un ensemble de solutions.
Courbe : Représentation graphique d'une fonction ou équation à deux variables.

📐 Formules et lois

Solution de $f(x)=g(x)$ : Abscisses des intersections de y=f(x) et y=g(x).
Solution de $f(x) < g(x)$ : Abscisses des points où y=f(x) est en dessous de y=g(x).
Solution de $f(x) > g(x)$ : Abscisses des points où y=f(x) est au-dessus de y=g(x).
Intersection : Points où y=f(x) et y=g(x) se croisent.
Réunion d'intervalles pour $f(x) \leq g(x)$ : Union des intervalles où la courbe est en dessous ou sur l'autre.

🔍 Méthodes

1. Tracer les courbes y=f(x) et y=g(x) à l’aide de leur représentation graphique ou logiciel.
2. Identifier leurs points d’intersection pour résoudre f(x) = g(x).
3. Analyser le graphique pour repérer où f(x) est inférieur ou supérieur à g(x).
4. Noter les valeurs de x aux points d’intersection et aux extrémités des plages recherchées.
5. Construire la solution en utilisant la réunion ou l’intersection des intervalles correspondants.

💡 Exemples

• Intersection de y=x² et y=x+2 : solutions considérées approximativement autour de x=-1 et x=2.
• Résolution graphique de x² < x+2 : solutions dans l’intervalle (−1, 2).
• Résolution graphique de x² ≥ x+2 : solutions dans (−∞, -1] ∪ [2, +∞).

⚠️ Pièges

• Confondre solutions d’une équation (intersections) et solutions d’une inéquation (zones du graphique).
• Négliger les solutions approchées ou oublier des solutions possibles.
• Confondre réunion et intersection d’intervalles.
• Mal interpréter la position relative des courbes (au-dessus ou en dessous).
• Oublier de respecter le type d’inégalité pour déterminer si une borne est incluse ou non.