Fiche de révision : Second degré

📋 Plan du Cours

1. Fonctions polynômes du second degré
2. Forme canonique et sommet
3. Variations et extremum
4. Équations et discriminant
5. Factorisation selon les racines
6. Détermination d’un polynôme
7. Applications et tableaux de variation

📖 1. Fonctions polynômes du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Une fonction définie sur ℝ s’il existe des réels a, b et c avec a ≠ 0 tels que, pour tout x ∈ ℝ, $f(x)=ax^2+bx+c$.

📝 Points essentiels

• La courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré est une parabole, et sa valeur en zéro est f(0)=c.

📌 La parabole est tournée vers le haut si a>0 et vers le bas si a<0.

💡 Astuce mémo

a > 0 : parabole vers le haut ; a < 0 : parabole vers le bas

📖 2. Forme canonique et sommet

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Toute fonction polynôme du second degré s’écrit sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec a≠0.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour $f(x)=ax^2+bx+c$, on a $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=\frac{-b^2-4ac}{4a}=f(\alpha)$.

• Le sommet de la parabole est le point S(α ; β), et son axe de symétrie est la droite d’équation x=α.

💡 Astuce mémo

Le sommet S(α ; β) est le point central autour duquel la parabole se symétrise

📖 3. Variations et extremum

📝 Points essentiels

📌 Si a>0, β est le minimum de f atteint en α ; si a<0, β est le maximum de f atteint en α.

• Pour dresser le tableau de variations, on détermine α, calcule β=f(α), puis utilise le signe de a pour conclure sur les variations de f.

💡 Astuce mémo

Le signe de a détermine la forme de la parabole, donc son minimum ou son maximum

📖 4. Équations et discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Une équation peut s’écrire $ax^2+bx+c=0$ avec a, b et c réels et a≠0 ; ses solutions sont aussi appelées les racines du polynôme associé.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le discriminant du polynôme $ax^2+bx+c$ est $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Si Δ<0, l’équation n’a aucune solution réelle ; si Δ=0, elle possède une solution réelle $x_0=-\frac{b}{2a}$ ; si Δ>0, elle possède deux solutions réelles $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Compléments

• Pour résoudre $-2x^2+9x-4=0$, on obtient Δ=49 puis les deux solutions x=1/2 et x=4.

💡 Astuce mémo

Calculer Δ, puis distinguer Δ < 0, Δ = 0 et Δ > 0

📖 5. Factorisation selon les racines

★ À maîtriser

📌 Si Δ<0, le polynôme ne se factorise pas en produit de polynômes du premier degré ; si Δ=0, $f(x)=a(x-x_0)^2$ ; si Δ>0, $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Compléments

• 🔄 Pour factoriser un polynôme du second degré, il faut: calculer Δ, déterminer le nombre de racines, appliquer la forme de factorisation correspondante

💡 Astuce mémo

Une racine donne un carré ; deux racines donnent deux facteurs distincts

📖 6. Détermination d’un polynôme

★ À maîtriser

• Pour déterminer un polynôme connaissant son sommet, on écrit $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, on utilise une autre valeur de f pour déterminer a, puis on développe si nécessaire.

• Pour déterminer un polynôme connaissant deux racines, on écrit $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, on utilise une autre valeur de f pour déterminer a, puis on développe si nécessaire.

Compléments

• Si la parabole a pour sommet S(-1 ; 3) et vérifie f(0)=1, alors $f(x)=-2(x+1)^2+3=-2x^2-4x+1$.

💡 Astuce mémo

Identifier la forme adaptée, déterminer a avec une condition, puis développer

📖 7. Applications et tableaux de variation

📝 Points essentiels

• Si f admet les racines -2 et 1 et vérifie f(0)=-4, alors $f(x)=2(x+2)(x-1)=2x^2+2x-4$.

• Si f admet un minimum égal à -1 et vérifie f(1)=f(7)=2, son sommet a pour abscisse 4 et $f(x)=\frac13(x-4)^2-1=\frac13x^2-\frac83x+\frac{13}{3}$.

• Si a=2, b=4 et f(0)=3, alors $f(x)=2x^2+4x+3=2(x+1)^2+1$ et f admet un minimum égal à 1 en x=-1.

📊 Tableaux de synthèse

Signe du discriminant et racines