QCM : Second degré — 17 questions

Explication

Une fonction polynôme du second degré s’écrit $ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$. L’expression affine proposée ne convient pas, car son coefficient devant $x^2$ est nul.

Explication

En remplaçant $x$ par $0$, les termes contenant $x$ s’annulent et l’on obtient $f(0)=c=-7$. Cette valeur correspond à l’ordonnée à l’origine, et non à celle du sommet en général.

Explication

Le coefficient du terme carré est $a=-0{,}8<0$, donc la parabole est tournée vers le bas. Le signe du terme constant ou du coefficient de $x$ ne détermine pas cette orientation.

Explication

La forme canonique est $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $a\neq0$. La forme $ax^2+bx+c$ est la forme développée, tandis qu’une expression sans carré n’est pas du second degré.

Explication

On calcule $\alpha=-\frac{-8}{2\times2}=2$ puis $\beta=f(2)=8-16+3=-5$. L’abscisse du sommet est donc donnée par $\alpha$ et son ordonnée par $\beta$.

Explication

L’axe de symétrie d’une parabole passe par son sommet et a pour équation $x=\alpha$. Avec une abscisse de sommet égale à $-3$, l’axe est donc $x=-3$, et non la droite horizontale passant par le sommet.

Explication

Ici, $a=3>0$, donc la parabole est tournée vers le haut et $\beta=-7$ est un minimum atteint en $\alpha=2$. Le signe positif de $a$ ne correspond pas à un maximum.

Explication

La méthode consiste à déterminer $\alpha$, à calculer $\beta=f(\alpha)$, puis à exploiter le signe de $a$. Ici, $a<0$ indique une croissance avant l’abscisse du sommet, puis une décroissance après celle-ci.

Explication

Une équation du second degré possède un terme en $x^2$ dont le coefficient est non nul. L’expression $0x^2+2x-1=0$ se réduit à une équation du premier degré, car son coefficient quadratique vaut zéro.

Explication

En appliquant $\Delta=b^2-4ac$ avec $a=2$, $b=-3$ et $c=5$, on obtient $\Delta=(-3)^2-4\times2\times5=9-40=-31$. La valeur $31$ oublie le signe négatif issu du calcul.

Explication

Son discriminant vaut $\Delta=4^2-4\times1\times7=-12$, donc il est négatif et l’équation ne possède aucune solution réelle. Un discriminant nul, et non négatif, donnerait une solution réelle double.

Explication

Lorsque $\Delta=0$, le polynôme possède une racine double et s’écrit $a(x-x_0)^2$. Deux facteurs distincts correspondent au cas $\Delta>0$, tandis que l’absence de factorisation réelle correspond au cas $\Delta<0$.

Explication

La factorisation repose sur le calcul du discriminant, l’identification du nombre de racines et l’application de la forme correspondante. La forme canonique décrit plutôt un polynôme à partir de son sommet et ne constitue pas la démarche générale de factorisation selon les racines.

Explication

Les coordonnées du sommet s’intègrent directement dans la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$. Une autre valeur de la fonction sert ensuite à déterminer $a$, tandis que la forme factorisée nécessite la connaissance des racines.

Explication

Deux racines imposent la forme factorisée $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, et une autre valeur de la fonction permet de calculer le coefficient $a$. La forme canonique convient plutôt lorsqu’on connaît le sommet, pas lorsque les deux racines sont les données principales.

Explication

Les racines imposent les facteurs $(x+2)(x-1)$, puis la condition $f(0)=-4$ fixe le coefficient multiplicatif à $2$. L’expression $x^2+x-2$ utilise bien les racines, mais son coefficient ne permet pas d’obtenir la valeur demandée en $0$.

Explication

Les valeurs égales en $1$ et $7$ indiquent que l’axe de symétrie passe par leur milieu, soit $x=4$, et le minimum impose l’ordonnée du sommet $-1$. La forme avec $+1$ aurait un minimum égal à $1$, ce qui contredit la donnée.