Fiche de révision : Second degré et identités remarquables

📋 Plan du Cours

1. Développer avec les identités remarquables
2. Factoriser par identité remarquable
3. Compléter et reconnaître un carré
4. Mettre un trinôme sous forme canonique
5. Discriminant et nombre de solutions
6. Résoudre une équation du second degré
7. Factoriser un polynôme du second degré

📖 1. Développer avec les identités remarquables

★ À maîtriser

📐 Formule — L'identité remarquable du carré d'une somme est $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

📐 Formule — L'identité remarquable du carré d'une différence est $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

Compléments

• Le développement de $(2x+1)^2$ donne $4x^2+4x+1$.

💡 Astuce mémo

CARRÉ : premier carré, double produit, dernier carré

📖 2. Factoriser par identité remarquable

★ À maîtriser

📐 Formule — L'identité remarquable de la différence de deux carrés est $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

Compléments

• L'expression $x^2-2x+1$ se factorise en $(x-1)^2$.

💡 Astuce mémo

Développer transforme un produit en somme, factoriser transforme une somme en produit

📖 3. Compléter et reconnaître un carré

★ À maîtriser

• Pour compléter un trinôme en carré parfait, on détermine le terme qui complète le carré, puis on écrit l'identité remarquable correspondante.

Compléments

• Le trinôme $x^2+4x+4$ est le carré parfait $(x+2)^2$.

💡 Astuce mémo

Terme manquant → carré parfait → forme factorisée

📖 4. Mettre un trinôme sous forme canonique

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : s'écrit comme un carré d'une expression affine auquel on ajoute une constante

📝 Points essentiels

• Le polynôme $x^2+6x+5$ s'écrit sous forme canonique $(x+3)^2-4$.

💡 Astuce mémo

Carré du premier terme → ajout du carré → compensation

📖 5. Discriminant et nombre de solutions

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Le discriminant d'une équation $ax^2+bx+c=0$, avec $a\ne0$, est $\Delta=b^2-4ac$.

📝 Points essentiels

• Si $\Delta>0$, l'équation du second degré admet deux solutions distinctes.

• Si $\Delta=0$, l'équation du second degré admet une solution double.

• Si $\Delta<0$, l'équation du second degré n'admet aucune solution réelle.

💡 Astuce mémo

Δ>0 : deux solutions ; Δ=0 : une solution double ; Δ<0 : aucune solution

📖 6. Résoudre une équation du second degré

★ À maîtriser

📐 Formule — Lorsque $\Delta>0$, les solutions de $ax^2+bx+c=0$ sont $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

📐 Formule — Lorsque $\Delta=0$, l'unique solution est $x_0=\frac{-b}{2a}$.

Compléments

• L'équation $x^2+3x-4=0$ a pour solutions $-4$ et $1$, car son discriminant vaut $25$.

• L'équation $9x^2-12x+4=0$ a pour solution double $\frac{2}{3}$.

• L'équation $-2x^2+3x-7=0$ n'a aucune solution réelle car son discriminant est négatif.

💡 Astuce mémo

Identifier a,b,c → calculer Δ → appliquer le cas → écrire S

📖 7. Factoriser un polynôme du second degré

★ À maîtriser

📐 Formule — Si un polynôme du second degré a pour racines $x_1$ et $x_2$, sa forme factorisée est $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

📐 Formule — Si le polynôme possède une racine double $x_0$, sa forme factorisée est $P(x)=a(x-x_0)^2$.

Compléments

• Le polynôme $2x^2+7x+6$, de racines $-2$ et $-\frac{3}{2}$, se factorise en $(x+2)(2x+3)$.

• Le polynôme $3x^2-42x+147$, de racine double $7$, se factorise en $3(x-7)^2$.

💡 Astuce mémo

Racines → facteurs x−racine → coefficient directeur

📊 Tableaux de synthèse

Discriminant et solutions