QCM : Second degré et identités remarquables — 16 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quel est le développement correct de (a+b)2\left(a+b\right)^2 ?

a2+2a+b2a^2+2a+b^2
a2+b2a^2+b^2
a2+2ab+b2a^2+2ab+b^2
a2+ab+b2a^2+ab+b^2

$$a^2+2ab+b^2$$

Explication

Le carré d’une somme contient les carrés des deux termes et le double produit 2ab2ab. La somme des carrés ne comporte pas ce terme supplémentaire.

2. Quel développement obtient-on pour (a−b)2\left(a-b\right)^2 ?

a2+2ab+b2a^2+2ab+b^2
a2−2a+b2a^2-2a+b^2
a2−2ab+b2a^2-2ab+b^2
a2−b2a^2-b^2

$$a^2-2ab+b^2$$

Explication

Le carré d’une différence contient le terme −2ab-2ab entre les deux carrés. Le signe positif devant le double produit correspond au carré d’une somme.

3. Comment factoriser l’expression a2−b2a^2-b^2 ?

(a+b)2\left(a+b\right)^2
(a−b)(a+b)\left(a-b\right)\left(a+b\right)
(a−b)2\left(a-b\right)^2
a(a−b2)a\left(a-b^2\right)

$$\left(a-b\right)\left(a+b\right)$$

Explication

La différence de deux carrés se factorise en associant la différence et la somme des deux termes. L’écriture (a−b)2\left(a-b\right)^2 correspondrait au carré d’une différence, qui comporte un terme central.

4. Quelle forme factorisée correspond à x2−2x+1x^2-2x+1 ?

(x+1)2\left(x+1\right)^2
x(x−2)+1x\left(x-2\right)+1
(x−2)2+1\left(x-2\right)^2+1
(x−1)2\left(x-1\right)^2

$$\left(x-1\right)^2$$

Explication

Le trinôme contient les termes x2x^2, −2x-2x et 11, ce qui correspond au carré d’une différence avec a=xa=x et b=1b=1. Le carré (x+1)2\left(x+1\right)^2 produirait un terme central positif.

5. Quelle démarche permet de compléter un trinôme pour le transformer en carré parfait ?

Supprimer le terme linéaire puis conserver les deux termes carrés
Additionner les coefficients puis écrire une différence de deux carrés
Déterminer le terme manquant puis appliquer l’identité remarquable adaptée
Multiplier les deux termes extrêmes puis développer le résultat

Déterminer le terme manquant puis appliquer l’identité remarquable adaptée

Explication

Il faut d’abord identifier le terme qui complète le carré, puis utiliser l’identité remarquable correspondante. Supprimer le terme linéaire ne permet pas de préserver l’égalité avec le trinôme initial.

6. Quelle écriture en carré parfait représente le trinôme x2+4x+4x^2+4x+4 ?

(x−2)2\left(x-2\right)^2
(x+2)2\left(x+2\right)^2
(x+4)2\left(x+4\right)^2
(x+2)2+4\left(x+2\right)^2+4

$$\left(x+2\right)^2$$

Explication

Le terme central 4x4x est le double produit de xx et de 22, tandis que le dernier terme est 22=42^2=4. Le carré (x−2)2\left(x-2\right)^2 donnerait un terme central négatif.

7. Quelle caractéristique définit la forme canonique d’un trinôme du second degré ?

Elle exprime le trinôme comme un produit de deux facteurs affines.
Elle présente un carré d’une expression affine accompagné d’une constante.
Elle met en facteur le coefficient commun aux trois termes.
Elle présente trois termes ordonnés selon les puissances décroissantes.

Elle présente un carré d’une expression affine accompagné d’une constante.

Explication

La forme canonique fait apparaître le carré d’une expression affine ainsi qu’une constante ajoutée. La forme développée, elle, se reconnaît plutôt à l’écriture en trois termes selon les puissances de la variable.

8. Quelle est la forme canonique du polynôme x2+6x+5x^2+6x+5 ?

(x+3)2+5\left(x+3\right)^2+5
(x+3)2−4\left(x+3\right)^2-4
(x+6)2+5\left(x+6\right)^2+5
(x−3)2−4\left(x-3\right)^2-4

$$\left(x+3\right)^2-4$$

Explication

En complétant le carré, x2+6x+5=(x+3)2−9+5=(x+3)2−4x^2+6x+5=\left(x+3\right)^2-9+5=\left(x+3\right)^2-4. L’expression (x+3)2+5\left(x+3\right)^2+5 conserve le terme constant sans tenir compte de la correction liée au carré ajouté.

9. Quelle expression donne le discriminant de l’équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 avec a≠0a\ne0 ?

Δ=b2+4ac\Delta=b^2+4ac
Δ=−b±b2−4ac2a\Delta=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac
Δ=b2−4ac\Delta=\sqrt{b^2-4ac}

$$\Delta=b^2-4ac$$

Explication

Le discriminant est calculé par Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac. La racine carrée de ce nombre intervient ensuite dans les formules des solutions, mais elle ne constitue pas le discriminant lui-même.

10. Combien de solutions réelles distinctes possède une équation du second degré lorsque Δ>0\Delta>0 ?

Deux solutions réelles distinctes.
Aucune solution réelle.
Une solution réelle et une solution complexe.
Une solution réelle double.

Deux solutions réelles distinctes.

Explication

Un discriminant strictement positif indique que l’équation possède deux solutions réelles distinctes. Lorsque Δ=0\Delta=0, les deux solutions se confondent en une solution double.

11. Que peut-on conclure pour une équation du second degré lorsque Δ=0\Delta=0 ?

Elle possède deux solutions complexes conjuguées.
Elle possède une solution réelle double.
Elle possède deux solutions réelles distinctes.
Elle ne possède aucune solution réelle.

Elle possède une solution réelle double.

Explication

Lorsque le discriminant est nul, les deux racines données par la formule se confondent, ce qui produit une solution réelle double. Deux solutions distinctes correspondent au cas Δ>0\Delta>0.

12. Que peut-on conclure pour une équation du second degré lorsque Δ<0\Delta<0 ?

Elle possède une solution réelle égale à Δ\sqrt{\Delta}.
Elle possède une solution réelle double.
Elle ne possède aucune solution réelle.
Elle possède deux solutions réelles distinctes.

Elle ne possède aucune solution réelle.

Explication

Un discriminant négatif ne possède pas de racine carrée réelle, donc l’équation n’a aucune solution réelle. La solution double apparaît dans le cas distinct Δ=0\Delta=0.

13. Pour Δ>0\Delta>0, quelles formules donnent les deux solutions de ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 ?

x1=−b−Δ2ax_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x2=−b+Δ2ax_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
x1=−b−Δ2ax_1=\frac{-b-\Delta}{2a} et x2=−b+Δ2ax_2=\frac{-b+\Delta}{2a}
x1=b−Δ2ax_1=\frac{b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x2=b+Δ2ax_2=\frac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}
x1=−b−Δax_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{a} et x2=−b+Δax_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{a}

$$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$ et $$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$

Explication

Lorsque Δ>0\Delta>0, les deux solutions sont obtenues avec les signes opposés devant Δ\sqrt{\Delta} et le même dénominateur 2a2a. Remplacer ce dénominateur par aa ou utiliser Δ\Delta à la place de Δ\sqrt{\Delta} modifie la formule.

14. Quelle est l’unique solution lorsque Δ=0\Delta=0 pour l’équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 ?

x0=−b2ax_0=\frac{-b}{2a}
x0=−bax_0=\frac{-b}{a}
x0=−b±Δ2ax_0=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}
x0=b2ax_0=\frac{b}{2a}

$$x_0=\frac{-b}{2a}$$

Explication

Pour un discriminant nul, la solution double est x0=−b2ax_0=\frac{-b}{2a}. La formule comportant deux signes décrit le cas de deux solutions distinctes lorsque Δ>0\Delta>0.

15. Un polynôme du second degré possède pour racines x1x_1 et x2x_2 et a pour coefficient directeur aa. Quelle est sa forme factorisée ?

P(x)=a(x−x1)(x−x2)P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)
P(x)=(x−x1)(x−x2)P(x)=(x-x_1)(x-x_2)
P(x)=a(x+x1)(x+x2)P(x)=a(x+x_1)(x+x_2)
P(x)=a(x−x1−x2)P(x)=a(x-x_1-x_2)

$$P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$

Explication

La présence des deux racines impose les facteurs x−x1x-x_1 et x−x2x-x_2, tandis que le coefficient directeur aa doit être conservé. Le produit des deux facteurs sans aa ne convient que dans le cas particulier où a=1a=1.

16. Un polynôme du second degré a une racine double x0x_0 et un coefficient directeur aa. Quelle forme factorisée lui correspond ?

P(x)=a(x−x0)2P(x)=a(x-x_0)^2
P(x)=a(x−x0)P(x)=a(x-x_0)
P(x)=a(x−x0)(x+x0)P(x)=a(x-x_0)(x+x_0)
P(x)=a(x−x0)2(x+x0)P(x)=a(x-x_0)^2(x+x_0)

$$P(x)=a(x-x_0)^2$$

Explication

Une racine double signifie que le même facteur x−x0x-x_0 apparaît deux fois, d’où la forme a(x−x0)2a(x-x_0)^2. Deux facteurs différents correspondraient à deux racines distinctes, et un facteur unique ne donnerait pas un polynôme du second degré.

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Quelle est la formule du carré d'une somme ?

(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

Quelle est la formule du carré d'une différence ?

(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

Quel est le développement de (2x+1)2(2x+1)^2 ?

4x2+4x+14x^2+4x+1

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