Flashcards : Séries entières et convergence (66 cartes)

Quelle forme a le terme général d’une série entière ?

Que garantit une suite $\left(|a_n|\rho^n\right)$ bornée pour $|z|<\rho$ ?

Que peut-on affirmer sur la convergence sur le cercle $|z|=R$ ?

Comment définir le rayon de convergence de $\sum a_n z^n$ ?

Quelle inégalité entre rayons découle de $|a_n|\leq|b_n|$ pour tout $n$ ?

Quelle relation entre coefficients garantit la même inégalité de rayons que $|a_n|\leq|b_n|$ ?

Quel est le rayon minimal garanti pour la série somme de deux séries entières ?

Que devient le rayon de la série somme si $R_a\ne R_b$ ?

Comment définit-on les coefficients du produit de Cauchy de deux séries entières ?

Quelle série constitue le produit de Cauchy de deux séries entières ?

Quel est le produit de deux séries entières absolument convergentes ?

Sur quel intervalle dérive-t-on et primitive-t-on terme à terme une série entière de rayon $R>0$ ?

Comment exprimer le coefficient $a_k$ d’une série entière à l’aide de sa somme $S$ ?

Quel est le développement en série de l’exponentielle complexe $e^z$ ?

Quand une fonction est-elle développable en série entière sur $]-r,r[$ ?

Quelle propriété garantit l’unicité du développement en série entière d’une fonction sur $]-r,r[$ ?

Quelles conditions caractérisent le développement en série entière d’une fonction sur $]-r,r[$ ?

Quelle est la série géométrique de $\frac{1}{1-z}$ pour $|z|<1$ ?

Quel est le rayon de convergence de la série de $\frac{1}{1-z}$ ?

Quel développement en série donne $\ln(1+t)$ pour $|t|<1$ ?

Quel développement en série donne $\arctan t$ pour $|t|<1$ ?

Quelles étapes permettent de déterminer un développement en série entière par équation différentielle ?

Comment le procédé de Cesàro obtient-il la valeur d’une série ?

Comment le procédé d’Abel obtient-il la valeur d’une série ?

Quelles définitions des séries de fonctions s’étendent aux fonctions complexes ?

Comment étudier la dérivation d’une série de fonctions complexes ?

Comment représenter une série entière à trous sous forme générale ?

Quel est le rayon de convergence de $\sum_{n\geq0}(z/R)^n$ pour $R>0$ ?

Quel est le rayon de convergence de $\sum_{n\geq0}n^\alpha z^n$ pour tout réel $\alpha$ ?

Dans quels cas la règle de d’Alembert peut-elle échouer à calculer le rayon de convergence ?

Quel ensemble de modules caractérise le rayon de convergence par convergence absolue ?

Que peut-on conclure des rayons si $a_n\sim b_n$ ?

Que peut-il arriver au rayon de convergence d’une somme de séries aux coefficients opposés ?

Quel est le rayon minimal garanti pour le produit de Cauchy de deux séries entières ?

Quelle régularité possède la somme d’une série entière de rayon $R>0$ sur $]-R,R[$ ?

Quel est le rayon de convergence de la série entière $E(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{z^n}{n!}$ ?

Quelle équation différentielle vérifie $e(t)=E(tz_0)$ dans l’identification de l’exponentielle ?

Quelle condition initiale vérifie $e(t)=E(tz_0)$ dans l’identification de l’exponentielle ?

Sur quels ensembles la série exponentielle converge-t-elle uniformément ?

Quelle relation d’addition vérifie l’exponentielle complexe ?

Quel est le développement en série de $\operatorname{ch}x$ pour un réel $x$ ?

Quel est le développement en série de $\operatorname{sh}x$ pour un réel $x$ ?

Quel est le rayon de convergence des séries de cos, sin, ch et sh ?

Quelle série définit la série de Taylor de $f$ en $0$ ?

Sous quelle condition la série de Taylor est-elle définie comme série entière ?

Quel est le développement en série de $(1+t)^\alpha$ pour $|t|<1$ ?

Quelle est la valeur du terme constant du développement de $(1+t)^\alpha$ ?

Quel est le rayon de convergence du développement de $(1+t)^\alpha$ si $\alpha$ n’est pas un entier positif ?

Quel est le rayon de convergence du développement de $(1+t)^\alpha$ si $\alpha$ est un entier positif ?

Quelle équation différentielle caractérise $f(t)=(1+t)^\alpha$ ?

Quelle condition initiale vérifie $f(t)=(1+t)^\alpha$ ?

Quelle récurrence vérifient les coefficients de la série de $g(t)$ ?

Quelle est la valeur initiale du coefficient $a_0$ de $g(t)$ ?

Que vaut le rayon de convergence si $\alpha$ n’est pas un entier naturel ?

Que vaut $a_{n_0+1}$ si $\alpha=n_0$ est un entier naturel ?

Que vaut le rayon de convergence si $\alpha=n_0$ est un entier naturel ?

Quelle somme le procédé de Cesàro attribue-t-il à une série convergente ?

Quelle valeur le procédé de Cesàro attribue-t-il à la série de terme général $(-1)^n$ ?

Quelle somme le procédé d’Abel attribue-t-il à une série convergente ?

Quelle valeur le procédé d’Abel attribue-t-il à la série de terme général $(-1)^n$ ?

Quels nombres complexes appartiennent au disque ouvert de centre 0 et de rayon $\rho$ ?

Quelle est la définition du disque de rayon infini ?

À quoi peuvent servir les développements de cos, ch et des autres fonctions considérées pour les nombres complexes ?

Quelle fonction constitue un contre-exemple important à l’existence d’un développement en série entière ?

Quelle fonction le procédé de Borel faible construit-il à partir des sommes partielles $U_n$ ?

Quelle intégrale définit la somme par le procédé de Borel fort ?