Fiche de révision : Séries entières et convergence

📋 Plan du Cours

1. Définition et convergence des séries entières
2. Rayon de convergence et calculs
3. Somme et produit de séries entières
4. Dérivation des séries entières
5. Exponentielle et séries associées
6. Séries entières des fonctions trigonométriques
7. Développement en série entière
8. Développements remarquables usuels
9. Recherche par équation différentielle
10. Procédés de sommation des séries divergentes

📖 1. Définition et convergence des séries entières

🔑 Notions clés & Définitions

• Série entière : Une série entière est une série de fonctions dont le terme général est un monôme de degré n, de la forme $u_n(z)=a_nz^n$, où le coefficient $a_n$ et la variable $z$ sont réels ou complexes.
• Disque ouvert : Le disque ouvert de centre 0 et de rayon $\rho>0$ est l’ensemble $D(0,\rho)=\{z\in\mathbb C:|z|<\rho\}$.
• Disque fermé : Le disque fermé de centre 0 et de rayon $\rho>0$ est l’ensemble $D(0,\rho)=\{z\in\mathbb C:|z|\leq\rho\}$; il est fermé et borné.

★ À maîtriser

• Si une suite $(|a_n|\rho^n)$ est bornée pour un réel $\rho>0$, alors la série entière $\sum a_nz^n$ converge absolument pour tout $z\in\mathbb C$ tel que $|z|<\rho$.

• Pour une série entière de rayon de convergence $R$, la convergence est absolue si $|z|<R$, la série diverge grossièrement si $|z|>R$, et le comportement sur $|z|=R$ est indéterminé a priori.

• Une série entière de rayon $R$ converge uniformément sur tout disque fermé $D(0,r)$ avec $r<R$, ainsi que sur $[-r,r]$ dans le cas réel.

• La somme d’une série entière de rayon strictement positif est continue sur son disque ouvert de convergence, et sur l’intervalle réel $]-R,R[$ dans le cas réel.

Compléments

• Les définitions de convergence simple ou uniforme et les résultats de continuité pour les séries de fonctions s’étendent aux fonctions à valeurs complexes.

📌 Pour dériver ou intégrer une série de fonctions complexes, on se ramène à une variable réelle, par exemple en étudiant les fonctions $t\mapsto u_n(t)$ ou $t\mapsto u_n(tz_0)$.

• La série géométrique, la série exponentielle, les polynômes et les séries « à trous » telles que $\sum z^{2n}$ ou $\sum (-1)^nz^{n^2}$ sont des exemples de séries entières.

• Une série entière à trous peut s’écrire sous la forme $\sum_{p\geq 0}a_pz^p$ en prenant nuls les coefficients correspondant aux exposants absents.

📌 Si $R=+\infty$, la série entière converge sur $\mathbb C$ et uniformément sur tout disque fermé de rayon fini strictement positif.

• La continuité de la somme sur les disques fermés strictement inclus dans le disque de convergence découle de la convergence uniforme d’une série de fonctions continues.

• Le disque de rayon infini est défini par $D(0,+\infty)=\mathbb C$.

• Toute partie non vide de $\mathbb R_+=\mathbb R_+\cup\{+\infty\}$ admet une borne supérieure, éventuellement égale à $+\infty$.

📖 2. Rayon de convergence et calculs

🔑 Notions clés & Définitions

• Rayon de convergence : Le rayon de convergence de $\sum a_nz^n$ est $R=\sup\{\rho\in\mathbb R_+:(a_n\rho^n)\text{ est bornée}\}$, avec $0\leq R\leq+\infty$.

★ À maîtriser

📌 Pour deux séries de rayons $R_a$ et $R_b$, si $|a_n|\leq|b_n|$ pour tout $n$, alors $R_b\leq R_a$; la même conclusion vaut si $a_n=O(b_n)$.

Compléments

📐 Formule - Pour tout $R>0$, la série $\sum_{n\geq0}\left(\frac zR\right)^n$ a pour rayon de convergence $R$.

• Pour tout réel $\alpha$, la série $\sum_{n\geq0}n^\alpha z^n$ a pour rayon de convergence $1$.

• La règle de d’Alembert ne permet pas toujours de calculer le rayon de convergence, notamment en cas d’annulation des coefficients ou d’absence de limite du quotient étudié.

📐 Formule - Le rayon de convergence vérifie $R=\sup\{|z|:\lim_{n\to+\infty}a_nz^n=0\}=\sup\{|z|:\sum_{n\geq0}|a_nz^n|\text{ converge}\}$.

📌 Si $a_n\sim b_n$, les séries entières de coefficients $a_n$ et $b_n$ ont le même rayon de convergence.

📖 3. Somme et produit de séries entières

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit de Cauchy : Le produit de Cauchy de $\sum a_nz^n$ et $\sum b_nz^n$ est la série $\sum_{n\geq0}\pi_nz^n$ dont les coefficients sont $\pi_n=\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}$.

★ À maîtriser

📌 Le rayon de convergence de la série somme $\sum(a_n+b_n)z^n$ est supérieur ou égal à $\min(R_a,R_b)$; si $R_a\ne R_b$, il est égal à ce minimum.

📌 Lorsque les deux séries entières convergent absolument, leur produit est la série de Cauchy de coefficients $\pi_n=\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}$.

Compléments

• Si les coefficients de deux séries sont opposés, leur somme peut avoir un rayon de convergence strictement supérieur au minimum des rayons initiaux.

📌 Le rayon de convergence du produit de Cauchy est supérieur ou égal à $\min(R_a,R_b)$.

📖 4. Dérivation des séries entières

★ À maîtriser

📌 Si $S(x)=\sum_{n\geq0}a_nx^n$ a un rayon de convergence $R>0$, sa dérivée et sa primitive se calculent terme à terme sur $]-R,R[$.

📐 Formule - Pour tout entier $k\geq0$, le coefficient de la série somme vérifie $a_k=\frac{S^{(k)}(0)}{k!}$.

Compléments

• La somme d’une série entière de rayon $R>0$ est de classe $C^\infty$ sur $]-R,R[$.

📖 5. Exponentielle et séries associées

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout $z\in\mathbb C$, l’exponentielle admet le développement $e^z=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{z^n}{n!}$.

Compléments

• La série entière $E(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{z^n}{n!}$ a un rayon de convergence infini.

• Pour identifier l’exponentielle à partir de la série $E$, on fixe $z_0\in\mathbb C$ et on étudie $e(t)=E(tz_0)$, qui vérifie $e'(t)=z_0e(t)$ et $e(0)=1$.

📌 La série exponentielle converge uniformément sur tout disque de $\mathbb C$, mais pas uniformément sur tout $\mathbb C$.

• L’exponentielle vérifie $e^0=1$, $e^{z+z'}=e^ze^{z'}$ et $e^z\ne0$.

📐 Formule - Pour tout réel $x$, les fonctions hyperboliques ont les développements $\operatorname{ch}x=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$ et $\operatorname{sh}x=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$.

📖 6. Séries entières des fonctions trigonométriques

📝 Points essentiels

• Les séries de cos, sin, ch et sh ont toutes un rayon de convergence égal à +∞.

• Les développements de cos, ch et des autres fonctions considérées peuvent aussi servir à définir ces fonctions pour des nombres complexes.

💡 Astuce mémo

cos et ch sont paires ; sin et sh sont impaires

📖 7. Développement en série entière

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction développable en série entière : Une fonction est développable en série entière sur ]−r,r[ s’il existe une série entière de rayon de convergence R ≥ r dont la fonction somme égale la fonction sur ]−r,r[.
• Série de Taylor : La série de Taylor de f en 0, ou série de Maclaurin, est la série entière $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$, lorsque f est de classe C∞.

★ À maîtriser

• Le développement en série entière d’une fonction sur ]−r,r[, lorsqu’il existe, est unique.

• Une fonction est développable en série entière sur ]−r,r[ si et seulement si elle est de classe C∞, si sa série de Taylor converge sur cet intervalle et si la somme de cette série est égale à la fonction.

Compléments

• Les coefficients d’un développement en série entière de somme f sont déterminés par les dérivées de f en 0 : $a_k = \frac{f^{(k)}(0)}{k!}$.

• La fonction définie par f(x)=e^(−1/x²) pour x≠0 et prolongée convenablement en 0 est un contre-exemple important à l’existence d’un développement en série entière.

📖 8. Développements remarquables usuels

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour |z|<1, $\frac{1}{1-z} = \sum_{n=0}^{+\infty} z^n$, et cette série a pour rayon de convergence 1.

📐 Formule - Pour |t|<1, $\ln(1+t) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}t^n$.

📐 Formule - Pour |t|<1, $\arctan t = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}t^{2n+1}$.

Compléments

📐 Formule - Pour tout réel α et |t|<1, $(1+t)^\alpha = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}t^n$, avec le terme constant égal à 1.

• Le développement de (1+t)^α a pour rayon de convergence 1, sauf si α est un entier positif, auquel cas la fonction est polynomiale et le rayon vaut +∞.

📖 9. Recherche par équation différentielle

★ À maîtriser

• Pour déterminer un développement en série entière par équation différentielle, on caractérise d’abord la fonction par une équation et une condition initiale, puis on trouve une récurrence sur les coefficients, enfin on prouve la convergence de la série candidate et l’égalité de sa somme avec la fonction.

Compléments

📐 Formule - Pour f(t)=(1+t)^α, l’équation différentielle caractéristique est $(1+t)f'(t)-\alpha f(t)=0$, avec f(0)=1.

📐 Formule - Si g(t)=∑aₙtⁿ est une solution développable en série entière de l’équation précédente, ses coefficients vérifient $(\alpha-n)a_n=(n+1)a_{n+1}$ et a₀=1.

• Si α n’est pas un entier naturel, les coefficients de la série candidate ne s’annulent pas et la règle de d’Alembert donne un rayon de convergence égal à 1.

• Si α=n₀ est un entier naturel, alors aₙ₀₊₁ et tous les coefficients suivants sont nuls, la série est un polynôme et son rayon de convergence vaut +∞.

📖 10. Procédés de sommation des séries divergentes

★ À maîtriser

• Le procédé de Cesàro forme les sommes partielles Uₙ, calcule leurs moyennes Mₙ=(U₀+⋯+Uₙ₋₁)/n, puis cherche la limite de Mₙ.

• Le procédé d’Abel calcule F(x)=∑uₙxⁿ pour x∈[0,1[, puis cherche la limite de F(x) lorsque x tend vers 1.

Compléments

• Si les sommes partielles Uₙ convergent, le procédé de Cesàro donne la même somme que la série convergente.

• Pour la série de terme général (−1)ⁿ, le procédé de Cesàro attribue la valeur 1/2.

• Si la série ∑uₙ converge, le procédé d’Abel donne la même somme que la série.

• Pour la série de terme général (−1)ⁿ, le procédé d’Abel attribue également la valeur 1/2.

• Les procédés de sommation étudiés sont présentés comme linéaires, réguliers — ils coïncident avec la somme usuelle sur les séries convergentes — et invariants par translation des termes.

• La linéarité et l’invariance par translation attribuent 1/2 à la série ∑(−1)ⁿ, car sa série décalée est son opposée.

• Aucune sommation de la série de terme général n ne peut respecter simultanément la linéarité, la régularité et l’invariance par translation, car ces propriétés conduisent à une contradiction.

• Le procédé de Borel faible calcule les sommes partielles Uₙ, forme F(t)=∑(tⁿ/n!)Uₙ, puis cherche la limite de e^(−t)F(t) lorsque t tend vers +∞.

• Le procédé de Borel fort calcule G(t)=∑(tⁿ/n!)uₙ, puis attribue à la série la valeur de l’intégrale ∫₀⁺∞e^(−t)G(t)dt.

• Des procédés avancés peuvent attribuer une somme à la série ∑(n+1), mais ils ne vérifient pas toutes les propriétés de linéarité, de régularité et d’invariance par translation.

• Le prolongement analytique est cité comme outil de sommation avancée et peut conduire à plusieurs valeurs selon le chemin de construction, comme pour le logarithme complexe.

• La renormalisation en théorie quantique des champs est présentée comme un exemple d’usage physique de séries divergentes dont le fondement mathématique est difficile à établir.