QCM : Séries entières et convergence (23 questions)

Explication

Dans une série entière, le terme d’indice $n$ est un monôme de degré $n$, soit $a_nz^n$. La forme $a_nz$ omet l’exposant variable, tandis que les autres formes ne sont pas des monômes de degré $n$.

Explication

La borne de $|a_n|3^n$ permet d’appliquer le lemme d’Abel pour tout $z$ tel que $|z|<3$; ici $|z|=2$, donc la convergence est absolue. L’égalité au bord n’est pas couverte par cette conclusion, et le signe des coefficients n’est pas requis.

Explication

Les propriétés générales garantissent la convergence absolue pour $|z|<R$ et la divergence grossière pour $|z|>R$, mais ne déterminent pas le comportement lorsque $|z|=R$. La convergence absolue au bord n’est donc pas acquise.

Explication

La convergence est uniforme sur tout disque fermé de rayon $r<R$; le disque de rayon $3$ satisfait cette condition puisque $3<5$. Le disque fermé de rayon $5$ inclut le bord, et le théorème ne garantit pas l’uniformité sur ce bord.

Explication

Le rayon de convergence est le supremum des valeurs $\rho$ pour lesquelles la suite $\bigl(a_n\rho^n\bigr)$ est bornée. L’infimum, la convergence de la série et l’expression $a_n\rho$ ne correspondent pas à cette définition.

Explication

Si $|a_n|\leq|b_n|$ pour tout $n$, le théorème de comparaison donne $R_b\leq R_a$; avec $R_b=2$, on obtient $R_a\geq2$. La comparaison ne force ni l’égalité des rayons ni une inégalité stricte.

Explication

Lorsque les rayons sont différents, le rayon de la somme est leur minimum, donc $2$. Le maximum $5$ confond minimum et maximum, $7$ additionne les rayons, et une borne inférieure de $5$ oublie que le rayon peut être $2$.

Explication

Le coefficient de degré $n$ du produit de Cauchy est $\pi_n=\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}$; pour $n=3$, les indices des facteurs doivent totaliser $3$. Les produits d’indices égaux appliquent une autre règle, l’inversion proposée ne correspond pas à la convolution, et la dernière expression omet le terme $a_2b_1$.

Explication

Pour un rayon positif $R$, la dérivation et la primitive terme à terme sont valables sur l’intervalle ouvert $]-R,R[$, ici $]-4,4[$. L’intervalle fermé ajoute des extrémités non couvertes, tandis que les deux autres choix sortent de l’intervalle symétrique annoncé.

Explication

La formule des coefficients donne $a_k=\frac{S^{(k)}(0)}{k!}$; ainsi $a_2=\frac{12}{2!}=6$. La valeur $12$ omet la division par le factoriel, $2$ inverse le rapport, et $4$ ne correspond pas au factoriel de l’ordre $2$.

Explication

Pour tout nombre complexe $w$, l’exponentielle est donnée par $e^w=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{w^n}{n!}$. La série géométrique omet les factorielles, la substitution de $-w$ change les signes, et un départ à $n=1$ exclut le terme constant.

Explication

La fonction composée $e(t)=E(tz_0)$ vérifie $e'(t)=z_0e(t)$ et, puisque $E(0)=1$, $e(0)=1$. La relation sans $z_0$ omet le facteur de dérivation, tandis que les autres réponses modifient la condition initiale ou ajoutent un facteur dépendant de $t$.

Explication

Les séries entières de $\cos$, $\sin$, $\operatorname{ch}$ et $\operatorname{sh}$ ont toutes un rayon de convergence infini. Le rayon $1$ renvoie à une autre série usuelle, et les rayons nul ou finis ne correspondent pas à ces fonctions.

Explication

Les développements en série entière de ces fonctions peuvent aussi servir à les définir pour des nombres complexes. Les réduire aux arguments réels ou à un simple rôle d’approximation écarte cette possibilité, et elle n’est pas réservée à l’exponentielle.

Explication

La définition exige à la fois un rayon de convergence $R\ge r$ et l’égalité entre la somme de la série et la fonction sur tout l’intervalle. Un rayon au plus $r$ inverse la contrainte, tandis qu’une égalité locale ou absente ne suffit pas.

Explication

Lorsqu’il existe sur l’intervalle considéré, le développement en série entière d’une fonction est unique. La possibilité de coefficients différents, la restriction au terme constant ou l’exigence d’un polynôme ne découlent pas de cette unicité.

Explication

Le critère requiert simultanément la classe $C^\infty$, la convergence de la série de Taylor sur l’intervalle et l’égalité de sa somme avec la fonction. La régularité seule ou la convergence sans égalité ne suffit pas; une divergence n’est pas requise.

Explication

La formule géométrique donne $\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{+\infty}z^n$ lorsque $|z|<1$; ici $|1/3|<1$. La série logarithmique concerne $\ln(1+t)$, les puissances alternées changent le signe de l’argument et $1/3$ est dans le domaine de convergence.

Explication

Dans le développement de $\ln(1+t)$, le coefficient de $t^n$ est $(-1)^{n+1}/n$; pour $n=3$, il vaut $1/3$. Le signe négatif oublie l’alternance, le dénominateur cinq évoque un autre développement et le terme de degré deux est un décalage d’indice.

Explication

Pour un exposant entier positif, $\left(1+t\right)^5$ est un polynôme et son développement a un rayon de convergence infini. Le rayon $1$ concerne les autres cas; le degré n’est pas le rayon, et une série finie converge pour toute valeur de $t$.

Explication

La démarche consiste à caractériser la fonction par une équation et une condition initiale, à déduire une récurrence, puis à établir la convergence et l’égalité avec la fonction. Se passer de la condition initiale, inverser l’ordre logique ou omettre la preuve d’égalité laisse une étape essentielle injustifiée.

Explication

En identifiant les coefficients dans l’équation différentielle, on obtient $(\alpha-n)a_n=(n+1)a_{n+1}$, avec $a_0=1$ imposé par la condition initiale. Inverser les coefficients, décaler le facteur d’indice ou oublier la contribution de $tg'(t)$ donne les autres relations proposées.

Explication

Le procédé d’Abel étudie $F(x)=\sum_{n=0}^{\infty}u_nx^n$ pour $0\le x<1$, puis sa limite lorsque $x$ tend vers $1$. Les moyennes des $U_n$ relèvent de Cesàro, tandis que la limite en zéro ou celle des sommes partielles ordinaires n’est pas le procédé d’Abel.