Fiche de révision : Séries statistiques à deux variables

📋 Plan du Cours

1. Étude de deux variables quantitatives
2. Nuage de points et représentation
3. Paramètres marginaux et covariance
4. Corrélation et ajustement affine
5. Résidus et validation du modèle
6. Ajustement exponentiel
7. Ajustement par une fonction puissance

📖 1. Étude de deux variables quantitatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Série statistique double : Série statistique qui associe à chaque individu d’une population le couple de valeurs (xᵢ ; yᵢ) de deux caractères quantitatifs X et Y.

📝 Points essentiels

📌 La variable expliquée est celle que l’on cherche à prévoir, tandis que la variable explicative est celle dont les valeurs servent à la prévoir.

📖 2. Nuage de points et représentation

🔑 Notions clés & Définitions

• Nuage de points : Ensemble des points Mᵢ(xᵢ ; yᵢ) associés aux couples de valeurs d’une série statistique double dans un repère orthogonal.

📝 Points essentiels

• Pour représenter une série statistique double, on place chaque couple (xᵢ ; yᵢ) comme un point Mᵢ(xᵢ ; yᵢ) dans un repère orthogonal.

• L’allure du nuage de points permet de rechercher une fonction dont la courbe passe au mieux près des points observés.

📖 3. Paramètres marginaux et covariance

🔑 Notions clés & Définitions

• Covariance : La covariance de X et Y est le nombre défini par $\operatorname{cov}(x;y)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{N}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i y_i}{N}-\bar{x}\bar{y}$, où N est l’effectif.
• Moyennes marginales : Moyennes respectives des variables X et Y d’une série statistique double.
• Point moyen : Point du nuage ayant pour coordonnées (x̄ ; ȳ), les moyennes marginales des variables X et Y.
• Variances marginales : Les variances marginales sₓ² et sᵧ² mesurent la dispersion respective des variables X et Y dans une série statistique double.

📖 4. Corrélation et ajustement affine

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient de corrélation linéaire : Le coefficient de corrélation linéaire est défini par $r=\frac{\operatorname{cov}(x;y)}{s_xs_y}$, avec sₓ et sᵧ non nuls.
• Droite de régression de Y en X : La droite de régression de Y en X est la droite qui minimise la somme des carrés des écarts entre les ordonnées observées yᵢ et les ordonnées ajustées ŷᵢ à la même abscisse xᵢ.

★ À maîtriser

• Plus r est proche de 1 ou de −1, plus l’ajustement affine est pertinent.

📐 Formule - La droite de régression de Y en X a pour équation $y=ax+b$, avec $a=\frac{\operatorname{cov}(x;y)}{s_x^2}$ et $b=\bar{y}-a\bar{x}$.

Compléments

• Le coefficient de corrélation linéaire r appartient à l’intervalle $[-1{,}1]$.

📌 Si r vaut 1 ou −1, tous les points du nuage sont sur une même droite et la corrélation est totale.

• La droite de régression de Y en X passe par le point moyen G(x̄ ; ȳ).

💡 Astuce mémo

Une corrélation forte indique un alignement, mais ne garantit pas à elle seule la pertinence de l’ajustement.

📖 5. Résidus et validation du modèle

🔑 Notions clés & Définitions

• Résidu : Le résidu eᵢ est l’écart entre l’ordonnée observée yᵢ et l’ordonnée ajustée ŷᵢ, soit $e_i=y_i-\hat y_i=y_i-(ax_i+b)$.

★ À maîtriser

📌 Un ajustement affine est jugé plausible lorsque le nuage des résidus ne présente aucune tendance et que les résidus sont répartis alternativement autour de l’axe des abscisses.

Compléments

• La somme des résidus d’une droite de régression de Y en X est nulle, soit $\sum_{i=1}^{n}e_i=0$, à l’erreur d’arrondi près dans un calcul numérique.

💡 Astuce mémo

Résidus sans tendance : ajustement plausible ; résidus avec tendance : ajustement à remettre en cause.

📖 6. Ajustement exponentiel

★ À maîtriser

• 🔄 Pour établir un ajustement exponentiel :
  1. Poser zᵢ=ln yᵢ.
  2. Ajuster z en fonction de x par une droite.
  3. Utiliser y=eᶻ pour revenir à la variable initiale.

Compléments

• Dans l’exemple des fertilisants, l’ajustement donne $\ln y=0{,}007x+2{,}69$, donc $y=e^{0{,}007x+2{,}69}$.

• Pour la série transformée (x ; z) de l’exemple des fertilisants, le coefficient de corrélation est r(x,z)=0,996.

📌 Dans l’exemple des fertilisants, les résidus de l’ajustement entre x et z sont alternativement positifs et négatifs, ce qui conduit à juger cet ajustement intéressant.

💡 Astuce mémo

Passer de y à ln y, ajuster z en x, puis revenir à y par l’exponentielle.

📖 7. Ajustement par une fonction puissance

★ À maîtriser

• 🔄 Pour ajuster une relation de puissance entre U et I :
  1. Poser x=ln I et y=ln U.
  2. Ajuster y en fonction de x par une droite.
  3. Revenir aux variables initiales par exponentiation.

Compléments

📐 Formule - Dans l’exemple du circuit, la droite ajustée est $y=2{,}026x-9{,}561$ et conduit à $U=I^{2{,}026}e^{-9{,}561}$.

• Pour la série transformée (x ; y) de l’exemple du circuit, le coefficient de corrélation est r(x,y)=0,9995.

💡 Astuce mémo

Passer de I et U à leurs logarithmes, ajuster la droite, puis revenir à U.