Fiche de révision : Signaux périodiques et filtrage

📋 Plan du Cours

1. Décomposition de Fourier
2. Composante continue et valeur efficace
3. Fondamental et harmoniques
4. Fonction de transfert et Bode
5. Filtrage harmonique des signaux
6. Filtres intégrateurs et dérivateurs
7. Applications du filtrage

📖 1. Décomposition de Fourier

🔑 Notions clés & Définitions

• Série de Fourier : décomposition de tout signal périodique en une composante continue et une somme de signaux sinusoïdaux de fréquences multiples de la fréquence fondamentale.
• Spectre : constitué du spectre en amplitude et du spectre en phase, représentés en fonction de la fréquence.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Un signal périodique de fréquence $f_s=1/T_s$ se décompose sous la forme $e(t)=E_0+\sum_{n=1}^{\infty}E_n\cos(n\omega_s t+\varphi_{e,n})$.

💡 Astuce mémo

Continue → fondamental → harmoniques

📖 2. Composante continue et valeur efficace

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie variable : $s_{var}(t)=s(t)-\langle s\rangle$, c’est un signal de même forme que le signal initial mais centré en zéro.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un signal sinusoïdal $f(t)=f_0\cos(\omega t)$, la valeur efficace vaut $f_{eff}=f_0/\sqrt{2}$.

Compléments

• En mode DC, l’oscilloscope affiche le signal total, tandis qu’en mode AC il affiche sa partie variable après élimination de la composante continue par un filtre passe-haut.

💡 Astuce mémo

DC affiche tout, AC retire la moyenne

📖 3. Fondamental et harmoniques

★ À maîtriser

• Le signal triangulaire de moyenne nulle ne contient que des harmoniques de rang impair dont l’amplitude décroît en $1/n^2$.

• Le fondamental et les premières harmoniques donnent l’allure générale du signal, tandis que les harmoniques de rang élevé portent les détails fins et les discontinuités.

Compléments

• Les oscillations de Gibbs apparaissent près des sauts d’un signal discontinu tronqué et leur amplitude reste de l’ordre de 9 % du saut, même avec de nombreuses harmoniques.

💡 Astuce mémo

Triangle continu, créneau discontinu

📖 4. Fonction de transfert et Bode

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de transfert : le rapport complexe entre la sortie et l’entrée sinusoïdales en régime permanent, défini par $H(j\omega)=s/e$.
• Bande passante : l’intervalle de fréquences dans lequel le gain est supérieur ou égal au gain maximal diminué de 3 dB.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans une bande atténuée où $H(j\omega)\approx A(j\omega)^n$, le gain en décibels vérifie $G_{dB}(\omega)\approx20\log_{10}|A|+20n\log_{10}(\omega)$.

Compléments

• Les filtres usuels du programme sont:
  • le passe-bas d’ordre 1
  • le passe-haut d’ordre 1
  • le passe-bas d’ordre 2
  • le passe-haut d’ordre 2
  • le passe-bande d’ordre 2

📖 5. Filtrage harmonique des signaux

📝 Points essentiels

• Un filtre linéaire traite un signal périodique en appliquant sa fonction de transfert à chaque composante de Fourier puis en additionnant toutes les réponses.

📌 La composante continue de sortie vaut $H(0)E_0$, et non $|H(0)|E_0$, car $H(0)$ peut être négatif pour un filtre inverseur.

📌 Un filtre linéaire ne peut jamais créer une fréquence absente du signal d’entrée.

💡 Astuce mémo

Linéarité → traitement harmonique par harmonique

📖 6. Filtres intégrateurs et dérivateurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Filtre intégrateur : tel que $H(j\omega)\approx A/(j\omega)$, de sorte que sa sortie variable est approximativement une primitive de l’entrée variable, multipliée par A.
• Filtre dérivateur : tel que sa sortie vérifie approximativement $s(t)\approx A\,de/dt$.

📝 Points essentiels

📌 Si le coefficient A est négatif, le filtre est respectivement intégrateur-inverseur ou dérivateur-inverseur et introduit un déphasage supplémentaire de π.

💡 Astuce mémo

Intégrer divise par jω, dériver multiplie par jω

📖 7. Applications du filtrage

★ À maîtriser

• Pour analyser le filtrage d’un signal périodique, il faut repérer chaque fréquence, la comparer à la fréquence de coupure, puis appliquer le gain ou le comportement asymptotique correspondant.

• Un filtre passe-bas dont la fréquence d’entrée est très supérieure à la fréquence de coupure se comporte comme un moyenneur et délivre une sortie quasi continue égale à $H(0)\langle e\rangle$.

• Pour un triangle filtré par un passe-haut, si $f_s\gg f_c$ la partie variable est reproduite, tandis que si $f_s\ll f_c$ la sortie est approximativement la dérivée du triangle, donc un créneau quasi idéal.

📌 Un passe-bande sélectif réglé sur $\omega_r=n\omega_s$ extrait l’harmonique de rang n et supprime les autres composantes, y compris la composante continue.

Compléments

• Pour un créneau filtré par un passe-bas avec $f_s=10f_c$, les composantes variables sont dans la bande intégratrice et la sortie est un triangle de faible amplitude.

💡 Astuce mémo

Passe-bas : créneau → triangle → moyenne

📊 Tableaux de synthèse

Effet des filtres sur les composantes