Fiche de révision : Solides cristallisés

📋 Plan du Cours

1. Notions fondamentales des cristaux
2. Mailles de Bravais
3. Systèmes cristallins et réseaux
4. Indices et plans de Miller
5. Structures compactes des corps simples
6. Structures non compactes et composées

📖 1. Notions fondamentales des cristaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Motif : La plus petite entité discernable qui se répète périodiquement.
• Cristal : Obtenu par la répétition périodique à l’infini d’un motif.
• Réseau : Le lieu d’existence des motifs, déformé par les translations.
• Maille élémentaire : Le plus petit volume dont les translations permettent de reconstituer intégralement le cristal sans laisser de vide.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Une translation du réseau s’écrit $\vec{E}=m\vec{a}+n\vec{b}+p\vec{c}$, où m, n et p sont des entiers.

💡 Astuce mémo

Motif → réseau → nœuds → maille → cristal

📖 2. Mailles de Bravais

★ À maîtriser

• Une maille primitive ne contient qu’un motif équivalent par maille, car les nœuds situés aux huit sommets sont partagés entre huit mailles.

• Une maille cubique centrée contient deux motifs équivalents par maille : les huit sommets contribuent pour un motif et le centre pour un motif entier.

• Une maille faces centrées possède des motifs aux sommets et au centre des six faces, pour un total de quatre motifs équivalents par maille.

Compléments

• Une maille à base centrée possède des motifs aux sommets et au centre de deux faces opposées, pour un total de deux motifs équivalents par maille.

• Une maille est primitive lorsque les points A et B ne permettent pas de définir une translation supplémentaire entre eux.

💡 Astuce mémo

P compte les sommets, I ajoute le centre, F ajoute les faces

📖 3. Systèmes cristallins et réseaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Système cristallin : Défini par les paramètres géométriques de la maille et par ses éléments de symétrie, notamment les axes et plans de symétrie et les axes de rotation.

★ À maîtriser

• Il existe sept systèmes cristallins et quatorze réseaux de Bravais.

Compléments

• Les réseaux de Bravais peuvent être représentés en deux dimensions par projection sur un plan, puis par ajout de la coordonnée restante selon le troisième axe.

📖 4. Indices et plans de Miller

🔑 Notions clés & Définitions

• Indices de Miller : Identifient une famille de plans parallèles et équidistants dans un cristal.
• Distance réticulaire : La distance entre deux plans parallèles successifs d’une même famille de plans de Miller.

★ À maîtriser

• Pour déterminer les indices de Miller d’un plan, on repère ses intersections avec les axes, on prend les inverses de ces coordonnées, puis on les réduit aux plus petits entiers h, k et l.

Compléments

• Un plan parallèle à un axe a une intersection infinie avec cet axe, dont l’inverse est nul dans les indices de Miller.

💡 Astuce mémo

Intersections → inverses → indices entiers

📖 5. Structures compactes des corps simples

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordinence : Le nombre de plus proches voisins d’un atome dans la structure cristalline.

★ À maîtriser

• Dans un empilement compact, la première couche d’atomes forme un réseau de triangles équilatéraux.

📌 L’empilement compact ABAB correspond à la structure hexagonale compacte, tandis que l’empilement ABCABC correspond à la structure cubique faces centrées.

• La structure cubique faces centrées contient quatre atomes par maille, une coordinence de 12 et une compacité de 0,74.

Compléments

• Dans une structure cubique faces centrées, les sites octaédriques se trouvent au centre de la maille et au milieu des arêtes, tandis que les sites tétraédriques se trouvent à l’intérieur de la maille.

📐 Formule — Le rayon maximal d’une sphère occupant un site octaédrique entre des sphères de rayon R vaut environ $R_{o,\max}=0{,}414R$.

📐 Formule — Le rayon maximal d’une sphère occupant un site tétraédrique entre des sphères de rayon R vaut environ $R_{t,\max}=0{,}225R$.

💡 Astuce mémo

ABAB donne l’hexagonal compact, ABCABC donne le cubique faces centrées

📖 6. Structures non compactes et composées

★ À maîtriser

• La structure cubique centrée contient deux atomes par maille, possède une coordinence de 8 et une compacité d’environ 0,68.

• La structure cubique simple contient un atome par maille, possède une coordinence de 6 et une compacité d’environ 0,52.

• Dans la structure NaCl, les ions chlorure occupent les positions d’une structure cubique faces centrées et les ions sodium occupent les sites octaédriques.

• La maille de NaCl contient quatre ions sodium et quatre ions chlorure, ce qui donne une stœchiométrie NaCl.

Compléments

📌 Dans une structure cubique simple, les contacts atomiques se font selon les arêtes, tandis que dans une structure cubique centrée ils se font selon la grande diagonale du cube.

• La coordinence de NaCl est de 6 pour les ions sodium et de 6 pour les ions chlorure.

💡 Astuce mémo

Cubique simple et centré sont non compacts, NaCl est ionique et stœchiométrique

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des structures cubiques