Fiche de révision : Stabilité des systèmes linéaires

📋 Plan du Cours

1. Systèmes linéaires et superposition
2. Équations différentielles des circuits
3. Réponse harmonique et fonction transfert
4. Amplitude complexe et impédances
5. Correspondances temporelles fréquentielles
6. Série de Fourier et filtrage
7. Systèmes non linéaires
8. Stabilité et régimes libres
9. Critères des ordres un et deux

📖 1. Systèmes linéaires et superposition

🔑 Notions clés & Définitions

• Système linéaire : s’il obéit au principe de superposition, c’est-à-dire si toute combinaison linéaire de solutions est encore solution.
• Causalité : les effets sont toujours précédés par les causes qui leur donnent naissance.
• Invariance temporelle : possède des caractéristiques indépendantes du temps, de sorte que la constitution d’un circuit n’évolue pas avec le temps.

📝 Points essentiels

📌 Le régime transitoire est la solution complète, le régime libre est la solution de l’équation homogène sans second membre et le régime permanent est une solution particulière de l’équation complète.

📖 2. Équations différentielles des circuits

🔑 Notions clés & Définitions

• Constante de temps : Dans un circuit RC, le produit RC est homogène à un temps et constitue la constante de temps τ, qui fixe l’échelle de temps caractéristique du circuit.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour un circuit RC série, la tension s(t) vérifie $RC\frac{ds}{dt}+s(t)=e(t)$.

📐 Formule — Pour le circuit RLC étudié, la tension s(t) vérifie $\frac{d^2s}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{ds}{dt}+\frac{1}{LC}s=\frac{R}{L}\frac{de}{dt}$.

📌 La solution générale d’une équation différentielle linéaire est la somme d’une solution particulière de l’équation complète et d’une solution générale de l’équation homogène.

📖 3. Réponse harmonique et fonction transfert

🔑 Notions clés & Définitions

• Diagramme de Bode : comprend le gain en décibels et le déphasage en fonction de la pulsation, avec une échelle horizontale logarithmique.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La fonction de transfert harmonique vérifie $H=\frac{S}{E}e^{j\varphi}$, où S/E est le gain en amplitude et φ le déphasage.

📐 Formule — La fréquence, la pulsation et la période sont liées par $f=\frac{1}{T}$ et $\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}$.

📐 Formule — Le gain en décibels est défini par $G_{dB}=20\log\left(\frac{S}{E}\right)$.

📖 4. Amplitude complexe et impédances

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour une excitation sinusoïdale d’amplitude complexe U, la dérivation correspond à $j\omega U$, la dérivation seconde à $(j\omega)^2U=-\omega^2U$ et l’intégration à $\frac{U}{j\omega}$.

📐 Formule — Les impédances idéales en régime harmonique sont $Z_R=R$ pour une résistance, $Z_L=jL\omega$ pour une inductance et $Z_C=\frac{1}{jC\omega}$ pour une capacité.

📐 Formule — Pour le circuit RC étudié, le diviseur de tension donne $H(j\omega)=\frac{S}{E}=\frac{1}{1+jRC\omega}$.

📖 5. Correspondances temporelles fréquentielles

★ À maîtriser

• 🔄 Le passage fréquentiel vers temporel suit trois étapes:

  1. effectuer un produit en croix
  2. remplacer chaque facteur jω par une dérivation temporelle
  3. réécrire l’égalité obtenue dans le domaine temporel

• Une équation différentielle linéaire à coefficients constants conduit à une fonction de transfert qui est une fraction rationnelle en jω.

Compléments

📐 Formule — Si $H=\frac{\sum_{p=0}^{q}a_p(j\omega)^p}{\sum_{p=0}^{n}\beta_p(j\omega)^p}$, alors l’équation temporelle associée est $\sum_{p=0}^{n}\beta_p\frac{d^ps}{dt^p}=\sum_{p=0}^{q}a_p\frac{d^pe}{dt^p}$.

💡 Astuce mémo

Temps : équation différentielle ; fréquence : fonction de transfert.

📖 6. Série de Fourier et filtrage

🔑 Notions clés & Définitions

• Spectre : représente les amplitudes |C_p| en fonction des pulsations Ω_p et doit être complété par l’information sur les déphasages φ_p.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Toute fonction périodique de période T peut se décomposer selon $u(t)=C_0+\sum_{p=1}^{\infty}C_p\cos\left(\frac{2p\pi}{T}t+\varphi_p\right)$.

📌 La pulsation fondamentale est $\Omega=2\pi/T$ et l’harmonique de rang p a pour pulsation $\Omega_p=p\Omega$.

• Pour déterminer la réponse forcée d’un système linéaire à un signal périodique, on décompose l’entrée en harmoniques, on applique la fonction de transfert à chaque fréquence, puis on additionne les réponses par superposition.

💡 Astuce mémo

Décomposition spectrale → traitement indépendant des harmoniques.

📖 7. Systèmes non linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Système non linéaire : enrichit le spectre du signal d’entrée en produisant de nouvelles fréquences.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le multiplicateur intégré réalise $s(t)=k e_1(t)e_2(t)$ avec $k>0$.

💡 Astuce mémo

Non-linéarité → enrichissement du spectre.

📖 8. Stabilité et régimes libres

🔑 Notions clés & Définitions

• Stabilité : la contribution du régime libre au régime transitoire tend vers zéro lorsque t tend vers l’infini.

📝 Points essentiels

📌 Le régime permanent est généralement la réponse recherchée et ne diverge pas, tandis que le régime libre peut diverger ou masquer le régime permanent.

📐 Formule — Pour un système d’ordre 1, le régime libre vérifie $\frac{ds}{dt}+as(t)=0$ et s’écrit $s_g(t)=Ae^{-at}$.

📖 9. Critères des ordres un et deux

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un système d’ordre 2, l’équation caractéristique associée à $\frac{d^2s}{dt^2}+b\frac{ds}{dt}+cs(t)=0$ est $p^2+bp+c=0$, de discriminant $\Delta=b^2-4c$.

• Pour Δ>0, le régime libre est apériodique ; pour Δ<0, il est pseudopériodique ; pour Δ=0, il est apériodique critique.

• Pour les systèmes d’ordres 1 et 2, si les coefficients de l’équation différentielle homogène sont de même signe, la contribution du régime libre s’éteint avec le temps et le système est stable.

• Les racines de l’équation caractéristique sont les pôles de la fonction de transfert H(p), et la stabilité correspond à des pôles négatifs ou à partie réelle négative.

Compléments

📐 Formule — En régime pseudopériodique, la pseudopulsation vaut $\Omega=\frac{\sqrt{-\Delta}}{2}$.

💡 Astuce mémo

Ordre 1 : signe de a ; ordre 2 : signes de b et c.

📊 Tableaux de synthèse

Régimes libres d’ordre 2