Fiche de révision : Statistique descriptive et graphiques

📋 Plan du Cours

1. Rôle et démarche statistique
2. Population et échantillonnage
3. Stratégies d’échantillonnage
4. Nature des variables
5. Exploration et position des données
6. Paramètres de dispersion
7. Représentations graphiques des données

📖 1. Rôle et démarche statistique

🔑 Notions clés & Définitions

• Statistique : Ensemble de données et ensemble des activités consistant à collecter, traiter et interpréter ces données.

★ À maîtriser

• En biologie, les statistiques sont nécessaires en raison de l’incertitude des résultats expérimentaux ou des observations, de la forte variabilité intrinsèque du matériel biologique et du besoin de généraliser les observations individuelles à une population.

• 🔄 La démarche statistique comprend quatre étapes :

  1. Définir la question scientifique
  2. Planifier et réaliser la collecte des données
  3. Explorer les données collectées
  4. Réaliser le traitement statistique et interpréter les résultats

Compléments

• La biostatistique est l’application de la statistique à la biologie.

• L’exploration des données recherche les tendances, les corrélations entre variables ainsi que les valeurs extrêmes ou aberrantes.

💡 Astuce mémo

Question → collecte → exploration → analyse

📖 2. Population et échantillonnage

🔑 Notions clés & Définitions

• Population : Ensemble des éléments sur lequel porte l’étude scientifique et dont l’effectif est noté N.
• Échantillon : Partie de la population prélevée de façon aléatoire ou non aléatoire et dont l’effectif est noté n.
• Individu : Élément constituant la population sur lequel des caractéristiques sont mesurées, aussi appelé unité statistique.

★ À maîtriser

📌 Les statistiques descriptives résument les données de l’échantillon par des distributions, des graphiques et des caractéristiques synthétiques, tandis que les statistiques inférentielles tirent des conclusions sur la population à partir de l’échantillon. - Scherrer, 2008

• Un échantillon fournit une estimation du paramètre de la population étudiée, et non une certitude, en raison des fluctuations d’échantillonnage.

Compléments

• Les statistiques inférentielles s’appuient généralement sur l’hypothèse d’un échantillonnage aléatoire simple.

💡 Astuce mémo

Population entière, échantillon prélevé

📖 3. Stratégies d’échantillonnage

🔑 Notions clés & Définitions

• Échantillonnage aléatoire : Probabiliste : chaque individu de la population a une probabilité non nulle d’appartenir à l’échantillon, ce qui permet une estimation non biaisée des paramètres, mais peut être coûteux et laborieux.

★ À maîtriser

• L’échantillonnage aléatoire simple consiste à prélever au hasard et indépendamment n individus parmi les N de la population, chaque individu ayant la même probabilité d’être choisi et tous les échantillons possibles de n individus ayant la même probabilité d’être constitués.

Compléments

• Dans un échantillonnage aléatoire simple, les individus peuvent être remis dans la population après leur tirage ou non, sans conséquence si N est grand.

• Les principales variantes d’échantillonnage aléatoire sont :

  • l’échantillonnage systématique
  • l’échantillonnage stratifié
  • l’échantillonnage en grappes

• L’effectif de l’échantillon varie de 1 à la taille N de la population et constitue souvent un compromis entre la précision recherchée et les contraintes de budget, de temps et de faisabilité.

• Le choix de l’effectif de l’échantillon repose sur la variabilité des caractéristiques mesurées, la taille de la population et les méthodes d’échantillonnage.

📐 Formule - La fraction d’échantillonnage est égale à $\frac{n}{N}$.

📖 4. Nature des variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable : Caractère mesuré ou observé sur chaque élément de l’échantillon ou sur des entités prédéfinies qui lui sont associées.

★ À maîtriser

• Une variable quantitative est mesurée ou quantifiée, tandis qu’une variable qualitative classe les observations en catégories.

• Une variable quantitative discrète prend généralement des valeurs entières, tandis qu’une variable quantitative continue peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle.

• Une variable qualitative nominale classe les observations en catégories non ordonnées, tandis qu’une variable qualitative ordinale les classe en catégories ordonnées.

Compléments

• Le nombre de pétales est une variable quantitative discrète, la hauteur en centimètres une variable quantitative continue, la couleur une variable qualitative nominale et la classe de température du sol une variable qualitative ordinale.

💡 Astuce mémo

Quantifier une mesure, classer une catégorie

📖 5. Exploration et position des données

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne arithmétique : La moyenne arithmétique est le centre de gravité d’une distribution et se calcule par $\mu = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}$.
• Médiane : Valeur de la variable qui divise la distribution en deux parties d’effectif égal, avec 50 % des valeurs observées au-dessus et 50 % au-dessous.
• Mode : La valeur ou la modalité de la variable observée le plus fréquemment.
• Quantile : Une valeur de la variable qui sépare la distribution en deux parties d’effectifs respectifs np et n(1−p), où p est une proportion, comme pour les quartiles, les déciles et les pourcentiles.

★ À maîtriser

• L’exploration des données doit être effectuée avant chaque analyse statistique afin de résumer les données brutes et d’en dégager les tendances principales.

Compléments

• Dans l’exemple présenté, la hauteur moyenne des fleurs est de 9,94 cm et 29 des 111 fleurs collectées sont violettes.

• La moyenne arithmétique s’interprète aisément, mais elle est affectée par les valeurs exceptionnelles et peu pertinente pour une distribution asymétrique ou polymodale.

• Dans l’exemple présenté, la température moyenne du sol au pied de chaque fleur est de 16,52 °C.

• La médiane des hauteurs des fleurs est de 9,70 cm, et celle des températures du sol mesurées à leur pied est de 15,33 °C.

• La médiane est peu affectée par les valeurs extrêmes et exceptionnelles.

• Le mode est indépendant des valeurs extrêmes et s’applique à tous les types de variables.

• Le mode de la hauteur des fleurs se situe entre 10 et 12 cm, avec une valeur estimée de 11,04 cm.

• La classe modale de la couleur des fleurs est le violet.

• 25 % des fleurs ont une hauteur inférieure à 7,4 cm.

• 75 % des températures du sol mesurées au pied des fleurs sont supérieures à 13,72 °C.

📖 6. Paramètres de dispersion

🔑 Notions clés & Définitions

• Paramètres de dispersion : Résument et caractérisent l’étalement des valeurs autour des valeurs centrales.
• Variance : La moyenne des carrés des écarts à la moyenne, calculée en divisant la somme des carrés par N ou par N−1 pour obtenir un estimateur non biaisé.
• Écart-type : La racine carrée de la variance.
• Erreur-standard : Estimation de l’erreur commise lorsqu’on calcule la moyenne à partir d’un échantillon de taille N tiré au hasard.
• Coefficient de variation : Le rapport de l’écart-type à la moyenne.
• Étendue de variation : La différence entre la valeur maximale et la valeur minimale.
• Écart interquartile : La différence entre le troisième et le premier quartile.

📝 Points essentiels

📐 Formule - La variance est calculée ainsi : $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}{N}$.

• La variance de la hauteur des fleurs est de 12,66 cm², et celle de la température du sol au pied des fleurs est de 15,72 °C².

• L’écart-type de la hauteur des fleurs est de 3,56 cm.

📐 Formule - L’erreur-standard est calculée ainsi : $\text{erreur-standard} = \frac{\sigma}{\sqrt{N}}$.

📐 Formule - Le coefficient de variation est calculé ainsi : $cv = \frac{\sigma}{\mu}$.

• L’étendue de variation des hauteurs des fleurs est de 18,4 cm, et celle des températures du sol est de 17,7 °C.

• L’écart interquartile des hauteurs des fleurs est de 4,1 cm, et celui des températures du sol est de 4,71 °C.

📖 7. Représentations graphiques des données

🔑 Notions clés & Définitions

• Diagramme en bâtons : Convient aux variables qualitatives et aux variables quantitatives discrètes.

• Diagramme circulaire : Représente les fréquences des modalités de variables qualitatives ou quantitatives discrètes sous forme de parts de cercle.
• Histogramme : Représente les effectifs ou les fréquences par classe d’une variable quantitative continue.
• Boîte à moustaches : Représente certains paramètres de position et de dispersion et permet de comparer les distributions de différents échantillons dans un même graphique.

• Nuage de points : Permet d’étudier la relation entre deux variables quantitatives continues.

★ À maîtriser

📌 Dans un histogramme, les barres d’une variable quantitative continue sont contiguës, tandis que celles d’un diagramme en bâtons pour une variable discrète sont disjointes.

Compléments

• Un diagramme en bâtons peut représenter des paramètres descriptifs d’une variable quantitative continue en fonction des modalités d’une variable qualitative ou discrète.

• Un diagramme en bâtons peut croiser deux variables qualitatives ou deux variables quantitatives discrètes, notamment sous la forme d’un diagramme mosaïque.

• Dans un histogramme, la somme des hauteurs des barres correspond au nombre total d’observations.

• Un histogramme présente les effectifs ou les fréquences d’une seule variable.

• La forme d’un histogramme peut être décrite par son nombre de pics, son asymétrie et son aplatissement.

• Le signe du coefficient d’asymétrie indique le type de distribution : une distribution symétrique a un coefficient nul, une distribution asymétrique à gauche a un coefficient inférieur à zéro, une distribution asymétrique à droite a un coefficient supérieur à zéro

• Le kurtosis distingue trois formes de distribution :

  • une distribution platicurtique a un kurtosis inférieur à 3
  • une distribution normale a un kurtosis égal à 3
  • une distribution leptocurtique a un kurtosis supérieur à 3

• L’apparence d’une relation sur un nuage de points dépend de l’échelle choisie pour les axes.

💡 Astuce mémo

Discret : barres disjointes ; continu : barres contiguës.