Fiche de révision : Statistique descriptive et inférentielle

📋 Plan du Cours

1. Origines historiques de la statistique
2. Statistique et variabilité en santé
3. Apports historiques en médecine
4. Indicateurs de position
5. Indicateurs de dispersion
6. Variables et représentations graphiques
7. Échantillonnage et estimation
8. Fluctuation et intervalles de confiance
9. Hypothèses et risques des tests
10. Lois et tests de comparaison

📅 Repères chronologiques

1. XXIIIe siècle av. J.-C.Des recensements du bétail, des informations sur son cours et des contrats sont attestés en Chine et en Égypte
2. XVIIIe siècleLes statistiques acquièrent un rôle prévisionnel avec la construction des premières tables de mortalité
3. 1853Florence Nightingale observe les causes de mortalité des soldats pendant la guerre de Crimée et présente les résultats avec des diagrammes circulaires

📖 1. Origines historiques de la statistique

📝 Points essentiels

• Entre 1400 et 1530, la civilisation Inca utilise des quipus, des cordes munies de nœuds représentant respectivement l’unité, la dizaine et la centaine, pour encoder des nombres de 1 à 999.

• Antoine Deparcieux publie en 1746 l’Essai sur les probabilités de la durée de vie humaine, utilisé notamment par les compagnies d’assurances sur la vie.

💡 Astuce mémo

Recenser → prévoir → comprendre

📖 2. Statistique et variabilité en santé

🔑 Notions clés & Définitions

• Statistique : Méthode de raisonnement permettant d’interpréter des données caractérisées par leur variabilité.

📝 Points essentiels

• En biologie et en santé, la variabilité concerne notamment:

  • le nombre de cas de cancer
  • la durée moyenne de survie
  • la réponse aux traitements
  • la maladie
  • le pronostic

• Toute mesure contient une part d’erreur et les observations réalisées sur quelques individus nécessitent une extrapolation à une population plus large.

📌 La statistique descriptive représente et résume les données observées, tandis que la statistique inférentielle tire des conclusions sur une population à partir d’un échantillon.

💡 Astuce mémo

Variabilité des données → incertitude → raisonnement statistique

📖 3. Apports historiques en médecine

★ À maîtriser

• Florence Nightingale montre que les soldats meurent majoritairement de maladies et non de blessures de guerre.

• John Snow relie les décès dus au choléra à l’eau contaminée de la pompe de Broad Street, car presque tous les décès sont concentrés à courte distance de cette pompe.

Compléments

• William Farr et John Snow étudient les décès dus au choléra et à la diarrhée ainsi que la pression barométrique, le vent, la pluie et la température enregistrés à Greenwich. — William Far (1807-1883) et John Snow (1813-1858)

💡 Astuce mémo

Blessures visibles ≠ maladies majoritaires

📖 4. Indicateurs de position

🔑 Notions clés & Définitions

• Statistique descriptive : Résume ou représente un ensemble de données observées à l’aide d’estimations statistiques.
• Médiane : Valeur qui partage l’échantillon en deux, avec 50 % des observations au-dessus et 50 % au-dessous.
• Mode : Valeur observée le plus fréquemment.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La moyenne arithmétique d’un échantillon est $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$.

💡 Astuce mémo

Moyenne sensible, médiane robuste, mode discret

📖 5. Indicateurs de dispersion

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle interquartile : Plage comprise entre le premier quartile Q1 et le troisième quartile Q3 et contenant 50 % des observations.
• Amplitude : Écart entre la plus grande et la plus petite valeur observée dans l’échantillon.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La variance mesure l’écart des observations par rapport à la moyenne selon $S^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$.

📐 Formule — L’écart-type est la racine carrée de la variance, soit $S=\sqrt{S^2}$.

💡 Astuce mémo

Amplitude extrême ≠ intervalle interquartile robuste

📖 6. Variables et représentations graphiques

★ À maîtriser

📌 Une variable qualitative possède des modalités non mesurables, tandis qu’une variable quantitative possède des modalités mesurables.

📌 Une variable quantitative discrète ne prend que des valeurs discontinues, tandis qu’une variable quantitative continue peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle.

• Dans un diagramme en barres, les barres séparées représentent les fréquences ou effectifs des modalités d’une variable discrète.

Compléments

• Un histogramme représente la distribution d’une variable quantitative continue, mais son estimation dépend fortement du découpage en classes.

💡 Astuce mémo

Barres séparées pour le discret, histogramme continu

📖 7. Échantillonnage et estimation

🔑 Notions clés & Définitions

• Échantillonnage aléatoire indépendant : Tirage des individus de sorte que chacun ait la même probabilité d’être sélectionné et que les tirages soient indépendants.
• Estimateur : Fonction des observations de l’échantillon utilisée à la place de la valeur vraie d’un paramètre de population.

📝 Points essentiels

• La taille de l’échantillon influence la puissance du test, et un petit échantillon met difficilement en évidence une différence entre deux groupes.

• Un estimateur est: sans biais si son espérance égale le paramètre estimé, convergent s’il se rapproche du paramètre lorsque la taille de l’échantillon augmente, robuste s’il est peu sensible aux valeurs extrêmes

💡 Astuce mémo

Échantillon → estimateur → estimation

📖 8. Fluctuation et intervalles de confiance

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème central limite : Lorsque l’effectif augmente et que la variable suit la même loi dans chaque échantillon, la distribution des moyennes observées tend vers une loi normale.
• Intervalle de confiance : Un intervalle de confiance au niveau 1−α contient la vraie valeur du paramètre avec une probabilité 1−α selon la formulation du cours.

★ À maîtriser

• La moyenne d’un échantillon se rapproche de la moyenne de la population lorsque l’effectif de l’échantillon augmente.

Compléments

• Pour un intervalle de confiance, la borne inférieure est minorée et la borne supérieure est majorée lors de l’arrondi.

💡 Astuce mémo

Échantillon plus grand → moyenne plus stable → intervalle plus précis

📖 9. Hypothèses et risques des tests

★ À maîtriser

📌 L’hypothèse nulle H0 traduit l’absence de différence entre les paramètres comparés, tandis que l’hypothèse alternative H1 exprime la différence attendue.

• Pour comparer deux moyennes, une hypothèse alternative bilatérale s’écrit H1 : m1 ≠ m2, tandis qu’une hypothèse unilatérale s’écrit H1 : m1 > m2 ou H1 : m1 < m2.

📐 Formule — Le risque d’erreur de première espèce est $\alpha=P(\text{rejet de }H_0\mid H_0\text{ vraie})$.

• Si la p-value est inférieure au seuil fixé, on rejette H0 et le résultat est déclaré statistiquement significatif ; si elle est supérieure au seuil, on ne rejette pas H0.

Compléments

• Les seuils de signification habituellement utilisés sont 0,05, soit 5 %, et 0,01, soit 1 %.

💡 Astuce mémo

Rejeter H0 ≠ prouver H1

📖 10. Lois et tests de comparaison

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi normale : La loi normale modélise de nombreux phénomènes, approche plusieurs lois pour de grands échantillons et constitue une condition d’application de nombreux tests statistiques.

📝 Points essentiels

• Le test de Shapiro-Wilk vérifie si un échantillon suit une loi normale.

📌 Au seuil de 5 %, une p-value supérieure à 0,05 ne permet pas de rejeter l’hypothèse de normalité, tandis qu’une p-value inférieure à 0,05 conduit à la rejeter.

📐 Formule — Le test de Fisher-Snedecor compare deux variances à l’aide de la statistique $F=\frac{S^2_{\text{groupe 1}}}{S^2_{\text{groupe 2}}}$.

📌 Pour le test de Fisher-Snedecor, H0 affirme que les deux variances sont égales, tandis que H1 affirme qu’elles sont différentes.

💡 Astuce mémo

Normalité → choix de loi → test → décision

📊 Tableaux de synthèse

Descriptif et inférentiel

Indicateurs de position et dispersion