Fiche de révision : Statistique descriptive et variables qualitatives

📋 Plan du Cours

1. Démarche et objectifs statistiques
2. Population, échantillon et variables
3. Recueil, codage et qualité des données
4. Tableau et modalités qualitatives
5. Tri à plat et représentations
6. Graphiques des variables qualitatives
7. Variables quantitatives discrètes
8. Tri à plat et position
9. Dispersion et forme
10. Graphiques des variables discrètes
11. Variable quantitative continue
12. Regroupement en classes
13. Graphiques des données groupées
14. Résumé statistique approché
15. Croisement qualitatif quantitatif
16. Croisement quantitatif quantitatif
17. Centrage et covariance
18. Corrélation linéaire de Pearson

📖 1. Démarche et objectifs statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Statistique descriptive : Ensemble des techniques qui servent à explorer les données, à représenter graphiquement l’information et à détecter de premières tendances.

★ À maîtriser

📌 Les probabilités partent d’un modèle pour effectuer des calculs, tandis que la statistique part de données observées pour tenter de les expliquer, éventuellement à l’aide d’un modèle probabiliste.

• 🔄 Une étude statistique suit généralement ces étapes:
  1. Réflexion sur le protocole
  2. Recueil et codage des données
  3. Exploration des données
  4. Éventuel prétraitement
  5. Modélisation statistique si les données proviennent d’un échantillon
  6. Prévision ou prise de décision

Compléments

• Les outils de statistique descriptive associent l’exploration et le résumé aux tableaux et résumés statistiques, la représentation aux graphiques et la détection de tendances aux indicateurs de liaison.

💡 Astuce mémo

Protocole → collecte → exploration → prétraitement → modélisation → décision

📖 2. Population, échantillon et variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Population statistique : Ensemble concerné par une étude statistique.
• Individu statistique : Élément unique de la population, qui peut être une personne, un groupe de personnes ou un objet.
• Variable statistique : Toute information recueillie sur les individus statistiques.
• Échantillon : Sous-ensemble de la population statistique, tandis qu’un sous-échantillon est une partie de cet échantillon.
• Variable qualitative : Variable pour laquelle aucune opération mathématique n’est possible.

★ À maîtriser

• Lorsque l’échantillon contient tous les individus de la population, il s’agit d’un recensement ; lorsqu’il n’en contient qu’une partie, il s’agit d’un sondage.

• Une variable qualitative nominale possède des modalités sans ordre accepté par tous, tandis qu’une variable qualitative ordinale possède des modalités auxquelles un ordre accepté par tous peut être attribué.

• Une variable quantitative discrète possède un faible nombre de valeurs possibles relevant essentiellement d’un comptage, tandis qu’une variable quantitative continue peut prendre un ensemble continu de valeurs.

• Une variable à expliquer est une variable que l’on cherche à décrire, expliquer ou prédire, tandis qu’une variable explicative sert à décrire, expliquer ou prédire cette variable.

Compléments

📌 La statistique univariée étudie une seule variable sur les individus, tandis que la statistique multivariée étudie plusieurs variables mesurées sur les mêmes individus.

💡 Astuce mémo

Population = ensemble étudié ; échantillon = sous-ensemble observé

📖 3. Recueil, codage et qualité des données

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur manquante : Une valeur manquante ou non-réponse correspond au fait qu’un individu ne prenne aucune valeur pour une variable.

★ À maîtriser

• 🔄 Le protocole définit successivement:
  1. Les populations statistiques visées
  2. L’échantillon recueilli
  3. Les variables statistiques à mesurer
  4. Le type et le codage de chaque variable

📌 La méthode de recueil peut influencer les résultats, car un répondant peut commettre des erreurs dans un questionnaire alors qu’un enquêteur peut provoquer une réticence à répondre à certaines questions.

Compléments

• Les données peuvent être recueillies par questionnaire papier, questionnaire informatique, instrument de mesure ou enregistrement de sons et d’images.

📌 Les valeurs manquantes par omission résultent d’un refus ou d’une absence volontaire de réponse, tandis que les valeurs manquantes aléatoires n’ont pas de raison sous-jacente identifiée, comme un capteur défectueux ou un oubli.

💡 Astuce mémo

Protocole inadéquat → données biaisées → conclusions fragiles

📖 4. Tableau et modalités qualitatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de données : Un tableau de données représente les individus statistiques en lignes et les variables statistiques en colonnes.
• Modalité : Valeur pouvant être prise par une variable qualitative, et elle est active si au moins un individu la prend.

📝 Points essentiels

• Pour un tableau de données de taille n comportant p variables, la valeur située à l’intersection de la iᵉ ligne et de la jᵉ colonne est notée $x_{i,j}$.

• Dans les variables qualitatives ordinales, les modalités sont ordonnées selon une relation admise par tout le monde, par exemple de la consommation de viande la plus faible à la plus grande.

💡 Astuce mémo

Nominale : pas d’ordre ; ordinale : ordre à préserver

📖 5. Tri à plat et représentations

🔑 Notions clés & Définitions

• Tri à plat : Tableau qui récapitule les modalités, les effectifs, les fréquences et, pour une variable ordinale, les fréquences cumulées.
• Mode : Modalité ayant la fréquence ou l’effectif le plus élevé, et plusieurs modalités peuvent être modes en cas d’égalité.

• Diagramme de Pareto : Un diagramme de Pareto est un diagramme en barres dont les modalités sont réorganisées par ordre décroissant de fréquence, ce qui le réserve aux variables qualitatives nominales.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une modalité $a_k$ d’une variable qualitative, l’effectif $N_k$ est son nombre d’individus et la fréquence $f_k$ vérifie $f_k=\frac{N_k}{N}$, avec $N_k=Nf_k$ si $N>0$.

📐 Formule — Les effectifs et fréquences vérifient $\sum_{k=1}^{K}N_k=N$ et $\sum_{k=1}^{K}f_k=1$, avec $0\leq f_k\leq1$ pour chaque modalité.

📐 Formule — Pour une variable qualitative ordonnée, la fréquence cumulée de la modalité $a_k$ vérifie $F_k=\sum_{\ell=1}^{k}f_\ell=\frac{1}{N}\sum_{\ell=1}^{k}N_\ell$.

📌 Pour une variable qualitative ordinale, un outil de représentation est utilisable seulement s’il conserve l’ordre naturel des modalités.

📌 Dans un diagramme en barres, les barres ont la même largeur, sont séparées, leur hauteur représente la fréquence et l’ordre naturel des modalités ordinales doit être conservé.

Compléments

• L’axe des ordonnées d’un diagramme en barres doit commencer à 0 afin d’éviter d’exagérer visuellement les différences entre les fréquences.

💡 Astuce mémo

Effectifs → fréquences → cumulées → graphique

📖 6. Graphiques des variables qualitatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Diagramme de Pareto : Diagramme en tuyaux d’orgue où les modalités sont réorganisées par ordre décroissant de fréquences.

• Diagramme empilé : Représente les fréquences des modalités par des rectangles de même largeur, dont la hauteur correspond à chaque fréquence et dont la hauteur totale atteint 100 %.

• Diagramme circulaire : Découpe un disque en zones délimitées par deux rayons et une partie du cercle, chaque angle étant proportionnel à la fréquence de la modalité associée.

📝 Points essentiels

📌 Le diagramme de Pareto ne s’utilise jamais pour des variables qualitatives ordonnées, car il modifie l’ordre des modalités.

📐 Formule — L’angle de la région associée à la modalité ak est donné par $360^\circ \times f_k$, où fk est la fréquence de cette modalité.

💡 Astuce mémo

Pareto trie pour comparer, empilé cumule, circulaire découpe

📖 7. Variables quantitatives discrètes

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable quantitative discrète : Prend ses valeurs dans un ensemble discret, c’est-à-dire un ensemble où il existe des espaces entre chaque modalité.

★ À maîtriser

📌 Le nombre d’enfants est une variable quantitative discrète, tandis que la taille d’une personne est généralement considérée comme continue car une subdivision entre deux valeurs est physiquement possible.

Compléments

📌 Une variable peut être considérée comme quantitative discrète lorsque les outils associés aident à comprendre les données, et comme continue lorsque leur utilisation n’aide pas à cette compréhension.

💡 Astuce mémo

Discret : 2 enfants est possible, 2,5 ne l’est pas

📖 8. Tri à plat et position

🔑 Notions clés & Définitions

• Tri à plat : Tableau récapitulant les modalités ayant obtenu au moins une réponse pour une variable quantitative discrète, avec leurs effectifs, leurs fréquences et leurs fréquences cumulées.
• Médiane : La médiane est la valeur centrale qui divise la population en deux sous-populations d’effectifs égaux et appartient nécessairement aux valeurs possibles de la variable discrète.
• Quantile : Le quantile d’ordre α, avec 0 < α ≤ 1, est la première valeur pour laquelle les fréquences cumulées dépassent α.

★ À maîtriser

📌 Un mode absolu est une modalité de fréquence maximale, tandis qu’un mode relatif est une modalité dont la fréquence est supérieure ou égale à celle de ses voisines immédiates.

📌 La médiane est la première modalité ak dont la fréquence cumulée vérifie $F_k \ge 0{,}5$ et $F_{k-1}<0{,}5$.

📐 Formule — La moyenne d’un échantillon de n observations est $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$.

Compléments

📐 Formule — En notant ak les modalités et nk leurs effectifs, la moyenne se calcule par $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{K}n_k a_k$.

💡 Astuce mémo

Mode, médiane, quantiles, quartiles puis moyenne

📖 9. Dispersion et forme

★ À maîtriser

📐 Formule — L’étendue est $w_n=\max_{1\le i\le n}x_i-\min_{1\le i\le n}x_i$.

📐 Formule — La longueur de l’intervalle interquartile est $iq=\tilde q_{n,3/4}-\tilde q_{n,1/4}$.

📐 Formule — La variance est $\tilde{s}_n^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$ et l’écart-type est $\tilde{s}_n=\sqrt{\tilde{s}_n^2}$.

Compléments

📐 Formule — Le coefficient de variation est $cv_n=\frac{\tilde{s}_n}{\bar{x}}$.

📐 Formule — Le coefficient d’asymétrie est $sk_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{(x_i-\bar{x})^3}{\tilde{s}_n^3}$ et il est proche de 0 lorsque la distribution est symétrique.

💡 Astuce mémo

Variance en unités carrées, écart-type dans l’unité des données

📖 10. Graphiques des variables discrètes

🔑 Notions clés & Définitions

• Diagramme en bâtons : Représente les fréquences des modalités ak d’une variable quantitative discrète par des segments verticaux allant de (ak, 0) à (ak, fk).
• Fonction de répartition empirique : La fonction de répartition empirique est définie pour tout t réel par $\hat{F}(t)=\sum_{k:a_k\le t}f_k$.

★ À maîtriser

📌 La fonction de répartition empirique est croissante, constante par morceaux, saute aux modalités de fréquence non nulle, vaut 0 avant la première modalité et 1 après la dernière.

📌 La variante du boxplot signale comme outsiders les valeurs situées au-delà de $\tilde q_{n,3/4}+1{,}5iq$ ou en deçà de $\tilde q_{n,1/4}-1{,}5iq$.

Compléments

• Pour construire la fonction de répartition empirique, on place les points (ak, Fk), on trace les plateaux horizontaux entre les modalités effectives, puis on ajoute les segments de hauteur 0 avant la première modalité et de hauteur 1 après la dernière.

💡 Astuce mémo

Bâtons, escalier, boîte à moustaches

📖 11. Variable quantitative continue

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable continue : Variable pour laquelle, entre deux modalités effectives, il existe toujours une modalité intermédiaire qui pourrait être choisie.

★ À maîtriser

📌 Le tri à plat, le mode et le diagramme en bâtons sont abandonnés pour une variable quantitative continue, tandis que la moyenne, les quantiles, les mesures de dispersion, la fonction de répartition empirique et le boxplot sont conservés, avec certaines adaptations.

• Pour une série continue ordonnée, si αn n’est pas entier, le fractile d’ordre α est $x_{\lfloor\alpha n\rfloor+1}$ ; si αn est entier, toute valeur de l’intervalle $[x_{\alpha n},x_{\alpha n+1}[$ convient lorsque les deux bornes sont différentes.

Compléments

📐 Formule — Pour une série continue ordonnée, si $n=2m+1$ la médiane est $x_{m+1}$ ; si $n=2m$, toute valeur comprise entre $x_m$ et $x_{m+1}$ peut être considérée comme médiane.

💡 Astuce mémo

Discrète : modalités séparées ; continue : une modalité intermédiaire est toujours possible

📖 12. Regroupement en classes

🔑 Notions clés & Définitions

• Classe statistique : Ensemble d’intervalles qui sont tous fermés du même côté, ouverts de l’autre, et qui se suivent sans chevauchement, avec $b_k=a_{k+1}$.
• Regroupement en classes : Choix d’intervalles formant des classes et englobant toutes les valeurs de l’échantillon afin de construire un tri à plat par classes.

★ À maîtriser

📌 Un regroupement en classes isoamplitudes impose la même amplitude à toutes les classes, tandis qu’un regroupement en classes isofréquences impose la même fréquence à toutes les classes.

📌 Après un regroupement en classes, la répartition des points à l’intérieur de chaque classe est inconnue et l’analyse suppose qu’ils sont répartis uniformément.

Compléments

• Le choix du nombre de classes et de leurs bornes influence l’analyse et peut modifier légèrement les commentaires, de sorte qu’un regroupement naturel ou habituel doit être privilégié lorsqu’il existe.

💡 Astuce mémo

Isoamplitude : mêmes largeurs ; isofréquence : mêmes fréquences

📖 13. Graphiques des données groupées

🔑 Notions clés & Définitions

• Histogramme : Représentation de chaque classe par un rectangle dont la base correspond à l’intervalle de la classe et dont l’aire est égale à la fréquence de cette classe.

• Polygone des fréquences cumulées : Le polygone des fréquences cumulées est une fonction affine par morceaux, nulle avant la première classe, passant par les points $(b_k,F_k)$ et égale à 1 après la dernière classe.

★ À maîtriser

📐 Formule — La densité de la classe k est $d_k=\frac{f_k}{\ell_k}$, où $f_k$ est sa fréquence et $\ell_k$ la longueur de son intervalle.

Compléments

• La construction du polygone consiste à placer les points $(b_k,F_k)$ et $(a_1{,}0)$, à relier ces points par des segments et à ajouter les demi-droites d’équations $y=0$ avant la première classe et $y=1$ après la dernière.

💡 Astuce mémo

Classement en intervalles → histogramme et polygone des fréquences cumulées

📖 14. Résumé statistique approché

🔑 Notions clés & Définitions

• Classe modale : La classe modale absolue est la classe de plus grande densité, tandis qu’une classe modale relative possède une densité supérieure à celle de ses deux classes voisines immédiates.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le centre d’une classe d’extrémités $a_k$ et $b_k$ est $c_k=\frac{a_k+b_k}{2}$.

📐 Formule — Le fractile approché d’ordre α est la valeur $\hat q_{n,\alpha}$ telle que le polygone des fréquences cumulées vérifie $PFC(\hat q_{n,\alpha})=\alpha$.

📐 Formule — La moyenne approchée d’un regroupement en classes est $\hat x_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{K}n_kc_k=\sum_{k=1}^{K}f_kc_k$.

📐 Formule — La variance approchée d’un regroupement en classes est $\hat s_n^2=\sum_{k=1}^{K}f_k(c_k-\hat x_n)^2$.

💡 Astuce mémo

Centre → position → dispersion

📖 15. Croisement qualitatif quantitatif

🔑 Notions clés & Définitions

• Sous-population : Partie identifiée de l’échantillon, par exemple l’ensemble des individus correspondant à une modalité qualitative.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La moyenne de la variable quantitative y dans le groupe k est $\bar y^{(k)}=\frac{1}{n_k}\sum_{i\in Groupe\ k}y_i$.

📐 Formule — La moyenne globale est la moyenne pondérée des moyennes de groupes, selon $\bar y_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{K}n_k\bar y^{(k)}=\sum_{k=1}^{K}f_k\bar y^{(k)}$.

📐 Formule — La variance totale se décompose en variance intraclasse et variance interclasse selon $v=w+b$.

📐 Formule — Lorsque la variance totale v est strictement positive, le rapport de corrélation de y par rapport à x est $\eta^2=\frac{b}{v}$ et mesure la part de variabilité globale expliquée par les différences entre groupes.

📌 Le rapport de corrélation vérifie $\eta^2\in[0{,}1]$ ; il vaut 1 si et seulement si la variance intraclasse est nulle, et il vaut 0 si et seulement si la variance interclasse est nulle.

💡 Astuce mémo

Différences entre groupes → variance interclasse → rapport de corrélation

📖 16. Croisement quantitatif quantitatif

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable centrée : Variable dont la moyenne est nulle ; centrer une variable consiste à remplacer chaque valeur $x_i$ par $x_i-\bar x_n$.

📝 Points essentiels

📌 Dans un nuage de points, des valeurs centrées de même signe indiquent que les deux observations sont du même côté de leurs moyennes, tandis que des signes opposés indiquent qu’elles sont de côtés différents.

• Le barycentre d’un nuage de points est situé à l’intersection de la verticale passant par la moyenne de la première variable et de l’horizontale passant par la moyenne de la seconde variable.

📌 L’inversion d’un axe dans un graphique peut perturber l’interprétation de l’évolution ou de la relation entre deux variables quantitatives.

💡 Astuce mémo

Un nuage de points autour du barycentre, avec les deux axes placés sur les moyennes

📖 17. Centrage et covariance

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable centrée : Une variable x est centrée lorsque sa moyenne est nulle, et son centrage consiste à remplacer chaque valeur xi par $x_i-\bar{x}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — La covariance de deux variables x et y est $\operatorname{cov}(x,y)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$.

📌 Si x et y sont indépendantes, alors leur covariance est nulle, mais une covariance nulle ne suffit pas à conclure à l’indépendance.

Compléments

• Une valeur centrée négative indique que la valeur initiale est inférieure à la moyenne, une valeur centrée positive qu’elle lui est supérieure, et une valeur proche de zéro qu’elle en est proche.

📐 Formule — La covariance peut aussi se calculer par $\operatorname{cov}(x,y)=\overline{xy}-\bar{x}\,\bar{y}$.

💡 Astuce mémo

Centré négatif = sous la moyenne ; centré positif = au-dessus.

📖 18. Corrélation linéaire de Pearson

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient de corrélation de Pearson : Coefficient défini par $r(x,y)=\frac{\operatorname{cov}(x,y)}{\tilde{s}_x\tilde{s}_y}$.
• Effectif : L’effectif conjoint nkℓ est le nombre d’individus vérifiant simultanément x=ak et y=bℓ, tandis que nk
• et n
• ℓ sont les effectifs marginaux et n l’effectif total.
• Fréquence conjointe : Proportion d’individus vérifiant simultanément x=ak et y=bℓ, définie par $f_{k\ell}=\frac{n_{k\ell}}{n}$.
• Distribution conditionnelle : La distribution conditionnelle de y sachant x décrit les fréquences de y à l’intérieur de chaque modalité de x, chaque distribution conditionnelle totalisant 100 %.
• Indépendance : Deux variables aléatoires X et Y sont indépendantes si, pour toutes leurs modalités, $P(X=a_k,Y=b_\ell)=P(X=a_k)P(Y=b_\ell)$.
• V de Cramer : Le V de Cramer est défini par $V=\sqrt{\frac{\chi_n^2}{n\min(p-1,q-1)}}=\sqrt{\frac{\Phi^2}{\min(p-1,q-1)}}$ et vérifie $0\leq V\leq1$.

★ À maîtriser

📌 Le coefficient de Pearson vérifie toujours $-1\leq r(x,y)\leq 1$.

📌 Si x et y sont indépendantes, alors $r(x,y)=0$, mais la réciproque n’est pas toujours vraie.

• Pour étudier la corrélation entre deux variables quantitatives, on calcule les moyennes, la covariance, les écarts-types, le coefficient de Pearson, puis on interprète sa valeur.

📐 Formule — Sous l’hypothèse d’indépendance, l’effectif théorique de la cellule (k,ℓ) est $e_{k\ell}=\frac{n_{k\bullet}n_{\bullet\ell}}{n}$.

📐 Formule — La statistique du Khi2 est $\chi_n^2=\sum_{k=1}^{p}\sum_{\ell=1}^{q}\frac{(n_{k\ell}-e_{k\ell})^2}{e_{k\ell}}$.

📌 Le V de Cramer vaut 0 si et seulement si les variables sont indépendantes, tandis que V=1 implique une relation fonctionnelle entre elles.

Compléments

📌 S’il existe une relation linéaire entre x et y, alors $|r(x,y)|=1$ ; en particulier, $r(x,ax+b)=\operatorname{signe}(a)$ pour $a\neq0$.

📐 Formule — Les fréquences conjointes et marginales vérifient $\sum_{k=1}^{p}\sum_{\ell=1}^{q}f_{k\ell}=\sum_{k=1}^{p}f_{k\bullet}=\sum_{\ell=1}^{q}f_{\bullet\ell}=1$.

• Dans l’exemple, parmi les étudiants âgés de 18 ans ou moins, 60,61 % souhaitent poursuivre leurs études, contre 41,67 % à 19 ans et 34,29 % à 20 ans ou plus.

📐 Formule — La statistique du Phi2 est $\Phi^2=\sum_{k=1}^{p}\sum_{\ell=1}^{q}\frac{(f_{k\ell}-f_{k\bullet}f_{\bullet\ell})^2}{f_{k\bullet}f_{\bullet\ell}}$ et vérifie $\Phi^2=\frac{\chi_n^2}{n}$.

💡 Astuce mémo

Corrélation observée → vérifier qu’elle n’est pas une causalité.

📊 Tableaux de synthèse

Types de variables statistiques

Résumés statistiques