Fiche de révision : Ensembles et dénombrement

📋 Plan du Cours

1. Notions fondamentales sur les ensembles
2. Cardinalité et types d’ensembles
3. Inclusion et parties d’un ensemble
4. Opérations sur les ensembles
5. Propriétés des opérations ensemblistes
6. Produit cartésien et n-uplets
7. Cardinaux et factorielle
8. Tirages et dénombrement

📖 1. Notions fondamentales sur les ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Collection d’objets appelés les éléments de l’ensemble, généralement notée par une lettre majuscule et représentée par des accolades lorsqu’on énumère ses éléments.
• Appartenance : L’élément x appartient à l’ensemble E, ce qui se note x ∈ E, lorsqu’il est effectivement présent dans E ; sinon, on note x ∉ E.
• Ensemble vide : Ensemble qui ne comporte aucun élément et se note ∅.

📝 Points essentiels

• Les ensembles de nombres usuels sont:
  • N pour les entiers naturels
  • Z pour les entiers relatifs
  • Q pour les rationnels
  • R pour les réels

📖 2. Cardinalité et types d’ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Cardinal : Nombre d’éléments de cet ensemble et se note Card(E), #(E) ou ∣E∣.
• Ensemble dénombrable : Ensemble qui peut être mis en correspondance avec l’ensemble des entiers naturels N, chaque élément correspondant à un élément de N et un seul.

★ À maîtriser

📌 Un ensemble de cardinal fini possède un nombre fini d’éléments, tandis qu’un ensemble de cardinal infini possède une infinité d’éléments et a pour cardinal ∞.

📌 Un ensemble discret est fini ou infini dénombrable, tandis qu’un ensemble continu est infini non dénombrable.

Compléments

• L’ensemble des réels R, ainsi que [0; +∞[ et [0; 1], sont des ensembles continus, tandis que N et 2N sont des ensembles discrets.

💡 Astuce mémo

Dénombrable comme N, continu comme R

📖 3. Inclusion et parties d’un ensemble

🔑 Notions clés & Définitions

• Inclusion : Lorsque tout élément de A appartient aussi à B.
• Égalité des ensembles : Deux ensembles A et B sont égaux si A ⊂ B et B ⊂ A, c’est-à-dire s’ils contiennent exactement les mêmes éléments.
• Sous-ensemble : Tout ensemble inclus dans E.
• Ensemble des parties : Ensemble de tous les sous-ensembles de E.

★ À maîtriser

📌 Pour x ∈ E, x est un élément de E, tandis que {x} est un sous-ensemble de E de cardinal 1 appelé singleton.

Compléments

📌 Pour tout ensemble E, l’ensemble vide est inclus dans E : ∅ ⊂ E.

💡 Astuce mémo

x est un élément, {x} est un singleton

📖 4. Opérations sur les ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : Ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B.
• Réunion : Ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B, éventuellement aux deux.
• Ensembles disjoints : Deux ensembles A et B sont disjoints si leur intersection est vide, c’est-à-dire si A ∩ B = ∅.
• Complémentaire : Ensemble des éléments de E qui ne sont pas dans A, et se note notamment Ā, cA ou E∖A.
• Différence symétrique : La différence symétrique A Δ B est l’ensemble des éléments de A ∪ B qui ne sont pas dans A ∩ B, soit $A Δ B = (A ∪ B)∖(A ∩ B)$.

📖 5. Propriétés des opérations ensemblistes

📝 Points essentiels

📌 L’intersection et la réunion sont commutatives et associatives : $A ∩ B = B ∩ A$, $A ∪ B = B ∪ A$, et les parenthèses peuvent être regroupées sans modifier le résultat.

📐 Formule — Les opérations avec l’ensemble vide et un ensemble lui-même vérifient $A ∪ ∅ = A$, $A ∩ ∅ = ∅$, $A ∪ A = A$ et $A ∩ A = A$.

📐 Formule — L’intersection et la réunion sont distributives l’une par rapport à l’autre : $A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)$ et $A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)$.

📐 Formule — Les lois de De Morgan donnent $\overline{A ∪ B} = \overline{A} ∩ \overline{B}$ et $\overline{A ∩ B} = \overline{A} ∪ \overline{B}$.

💡 Astuce mémo

Complémenter une réunion → intersecter les complémentaires

📖 6. Produit cartésien et n-uplets

🔑 Notions clés & Définitions

• Couple : Le couple (x, y) est une suite formée de deux éléments, dont x est le premier et y le deuxième ; l’ordre est important, donc (x, y) ≠ (y, x).
• Produit cartésien : Ensemble des couples (x, y) tels que x ∈ E et y ∈ F.
• Produit cartésien généralisé : Le produit cartésien E₁ × ⋯ × Eₙ est l’ensemble des n-uplets (x₁, …, xₙ) tels que xᵢ ∈ Eᵢ pour i allant de 1 à n.

💡 Astuce mémo

(x,y) dépend de l’ordre, {x,y} n’en dépend pas

📖 7. Cardinaux et factorielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorielle : Pour n ∈ N* , la factorielle de n est $n! = n × (n−1) × ⋯ × 2 × 1$, avec par convention $0! = 1$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour deux ensembles finis A et B, $Card(A) + Card(B) = Card(A ∪ B) + Card(A ∩ B)$ et $Card(A × B) = Card(A) × Card(B)$.

📐 Formule — Si E est un ensemble fini de cardinal n, alors $Card(P(E)) = 2^n$.

📖 8. Tirages et dénombrement

🔑 Notions clés & Définitions

• Combinaison : Tirage simultané de p éléments distincts parmi n dans lequel l’ordre n’intervient pas.

★ À maîtriser

• Les trois types de tirage sont:
  • le tirage successif avec remise
  • le tirage successif sans remise
  • le tirage simultané sans remise

📐 Formule — Un tirage successif avec remise de p éléments dans un ensemble E de cardinal n produit une p-liste ordonnée avec répétitions possibles, dont le nombre est $Card(E^p) = n^p$.

📐 Formule — Un tirage successif sans remise de p éléments parmi n produit un arrangement ordonné sans répétition, dont le nombre est $A_n^p = n × (n−1) × ⋯ × (n−p+1) = \frac{n!}{(n−p)!}$.

📐 Formule — Le nombre de combinaisons de p éléments parmi n est le coefficient binomial $\binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n−p)!}$, car chaque combinaison engendre p! arrangements.

Compléments

📐 Formule — Une permutation d’un ensemble E de cardinal n est un arrangement de ses n éléments, et le nombre de permutations est $A_n^n = n!$.

💡 Astuce mémo

Avec remise : listes ; sans remise : arrangements ; simultané : combinaisons

📊 Tableaux de synthèse

Types de tirages