QCM : Ensembles et dénombrement (27 questions)

Explication

Un ensemble est une collection d’objets, appelés ses éléments, souvent désignée par une lettre majuscule et décrite entre accolades. Une relation, une opération ou une propriété géométrique correspondent à d’autres notions mathématiques.

Explication

La notation $4 \in E$ indique que 4 est effectivement un élément de E. La notation $4 \notin E$ serait fausse, et les deux autres propositions confondent l’appartenance d’un élément avec celle d’un ensemble.

Explication

L’ensemble vide ne possède aucun élément et se note $\varnothing$. En revanche, $\{0\}$ contient zéro et $\{\varnothing\}$ contient l’ensemble vide comme élément.

Explication

Le cardinal compte le nombre d’éléments distincts de l’ensemble, donc $\operatorname{Card}(E)=4$. Le fait qu’un ensemble soit nommé par une lettre ne détermine pas son cardinal, et cet ensemble n’est ni vide ni infini.

Explication

Un ensemble fini possède un nombre fini d’éléments, alors qu’un ensemble infini en possède une infinité et a pour cardinal $\infty$. Les autres distinctions portent sur la nature des éléments, l’inclusion ou la répétition, et non sur la finitude.

Explication

Un ensemble dénombrable peut être mis en correspondance avec l’ensemble des entiers naturels, chaque élément étant associé à un entier naturel et un seul. L’ensemble des réels n’est pas dénombrable, et les autres propositions ne définissent pas cette notion.

Explication

Un ensemble discret peut être fini ou infini dénombrable ; le cas décrit est donc discret. Un ensemble continu est infini non dénombrable, tandis qu’un ensemble fini ou vide ne possède pas une infinité d’éléments.

Explication

L’inclusion $A \subset B$ signifie que chaque élément de A appartient également à B. La réciproque correspondrait à une inclusion de B dans A, tandis que les deux dernières propositions décrivent des situations incompatibles avec l’inclusion.

Explication

Deux ensembles sont égaux lorsque $A \subset B$ et $B \subset A$, ce qui signifie qu’ils contiennent exactement les mêmes éléments. Avoir le même cardinal ou un élément commun ne suffit pas à établir leur égalité.

Explication

La notation $x \in E$ désigne x comme élément de E, alors que $\{x\}$ est l’ensemble qui contient x et constitue un singleton de cardinal 1. Confondre x avec le singleton $\{x\}$ revient à confondre un élément avec un ensemble.

Explication

L’intersection rassemble les éléments communs aux deux ensembles, ce qui exige une appartenance simultanée à $A$ et à $B$. La réunion correspond plutôt à une appartenance à au moins l’un des deux ensembles.

Explication

La réunion contient tout élément appartenant à l’un des deux ensembles, y compris ceux qui appartiennent aux deux. L’intersection, en revanche, se limite aux éléments communs.

Explication

Deux ensembles sont disjoints lorsqu’ils ne possèdent aucun élément commun, ce qui s’écrit $A \cap B = \varnothing$. Une réunion vide indique une situation bien plus restrictive et ne définit pas la disjonction.

Explication

Le complémentaire de $A$ dans $E$ contient les éléments de $E$ absents de $A$, et peut se noter $\overline{A}$ ou $E\setminus A$. Les éléments communs à $E$ et $A$ décrivent plutôt une intersection.

Explication

La commutativité permet d’échanger l’ordre des ensembles sans changer le résultat, d’où $A \cap B = B \cap A$. Le regroupement des parenthèses relève de l’associativité, illustrée par une autre égalité.

Explication

L’intersection avec l’ensemble vide ne contient aucun élément, donc $A \cap \varnothing = \varnothing$. À l’inverse, la réunion avec l’ensemble vide conserve $A$.

Explication

La distributivité de l’intersection sur la réunion produit la réunion des deux intersections indiquées. La deuxième expression applique une forme liée à la distributivité de la réunion sur l’intersection, mais elle ne correspond pas au membre de départ.

Explication

La première loi de De Morgan transforme le complémentaire d’une réunion en intersection des complémentaires. Le complémentaire d’une intersection se transforme, lui, en réunion des complémentaires.

Explication

Dans un couple, la première position et la deuxième position jouent des rôles distincts, donc l’échange des éléments peut modifier le couple. Cette propriété distingue le couple de l’ensemble $\{x,y\}$, où l’ordre ne compte pas.

Explication

Le produit cartésien associe chaque élément de $E$ placé en première position à un élément de $F$ placé en deuxième position. Une réunion rassemble des éléments sans imposer cette structure ordonnée de couples.

Explication

La réunion corrige le double comptage des éléments communs, donc son cardinal vaut $8+5-2=11$. Le produit des cardinaux, égal à $40$, concerne le produit cartésien et non la réunion.

Explication

Chaque élément peut être choisi ou non dans un sous-ensemble, ce qui donne $Card(P(E))=2^6=64$. Le nombre $6$ est le cardinal de $E$, pas celui de son ensemble des parties.

Explication

Par convention, la factorielle de zéro est définie par $0!=1$. Cette valeur permet notamment de conserver les formules usuelles de dénombrement lorsque l’un des paramètres est nul.

Explication

La remise de la boule après chaque tirage caractérise le tirage successif avec remise, qui autorise les répétitions. Dans un tirage sans remise, une boule tirée ne pourrait pas être sélectionnée à nouveau.

Explication

Avec remise, chacune des trois positions peut recevoir l’un des quatre éléments, donc le nombre de listes est $4^3=64$. Le calcul $4\times3\times2=24$ correspondrait à un tirage successif sans remise.

Explication

Un tirage successif sans remise donne $A_5^3=5\times4\times3=60$ arrangements. La valeur $10$ compte les choix non ordonnés et correspond à $\binom{5}{3}$.

Explication

Comme l’ordre ne compte pas, il faut utiliser le coefficient binomial $\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!3!}=10$. Le nombre $20$ compterait les choix ordonnés, car chaque groupe de deux éléments y serait dénombré dans ses deux ordres.