Fiche de révision : Statistique descriptive exploratoire

📋 Plan du Cours

1. Données multidimensionnelles et méthodes
2. Variables discrètes et indicateurs
3. Variables continues et densité
4. Variables qualitatives
5. Normalité et transformations
6. Fonction de répartition théorique
7. Fonction de répartition empirique
8. Poids et caractéristiques numériques

📖 1. Données multidimensionnelles et méthodes

🔑 Notions clés & Définitions

• Données multidimensionnelles : Souvent représentées par un tableau dont chaque ligne contient les variables mesurées sur un individu.

★ À maîtriser

📌 L’ACP étudie les relations entre plusieurs variables quantitatives, tandis que l’AFC concerne deux variables qualitatives et que l’ACM concerne au moins trois variables qualitatives ou quantitatives.

📌 La classification est supervisée lorsque les classes sont définies à l’avance et non supervisée lorsqu’elles ne le sont pas.

Compléments

📌 Dans une étude d’influence, la variable à expliquer ou variable réponse est distinguée des variables explicatives ou variables régressseurs.

💡 Astuce mémo

Variables liées sans variable privilégiée, ou une variable à expliquer et des variables explicatives

📖 2. Variables discrètes et indicateurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable quantitative discrète : Prend des valeurs discrètes, entières ou décimales, dont le nombre est théoriquement au plus dénombrable.
• Moyenne empirique : La moyenne empirique d’une série est $\bar{x}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i=\sum_{j=1}^{r}f_jm_j$.
• Variance empirique : La variance empirique d’une série est $\sigma_n^2(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x}_n)^2$.

★ À maîtriser

• Pour une valeur possible m_j, l’effectif n_j est le nombre d’individus tels que x_i=m_j, et les effectifs vérifient $\sum_{j=1}^{r} n_j=n$.

📐 Formule - La fréquence associée à la valeur m_j est $f_j=\frac{n_j}{n}$ et la fréquence cumulée est $F_j=\sum_{i=1}^{j}f_i=\frac{N_j}{n}$.

Compléments

• Le diagramme en bâtons représente les fréquences ou les effectifs selon les valeurs, tandis que le diagramme cumulatif représente les fréquences ou effectifs cumulés.

💡 Astuce mémo

Valeur → effectif → fréquence → cumul

📖 3. Variables continues et densité

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable quantitative continue : Peut prendre a priori un continuum de valeurs possibles, comme la température.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour des observations ordonnées, la fonction de répartition empirique vérifie $F_n(x)=\frac{i}{n}$ pour $x\in[x_{(i)},x_{(i+1)})$.

📐 Formule - Pour des intervalles de même longueur, l’histogramme normalisé est défini par $h_n(x)=\frac{k}{x_{\max}-x_{\min}}\frac{n_j}{n}$ lorsque x appartient à l’intervalle I_j.

📐 Formule - L’estimateur de densité par noyau est $\hat{h}_{n,\lambda}(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}K\left(\frac{x-x_i}{\lambda}\right)$, où λ est strictement positif.

Compléments

• L’histogramme dépend fortement du choix de la partition des valeurs en intervalles.

💡 Astuce mémo

Un histogramme découpe l’axe en intervalles, tandis que le noyau lisse les observations

📖 4. Variables qualitatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable qualitative : Décrit une qualité de l’individu et ses valeurs possibles sont appelées des modalités.

📝 Points essentiels

📌 Une variable qualitative est ordinale si ses modalités sont naturellement ordonnées et nominale sinon.

• Pour une variable qualitative, les caractéristiques numériques comme la moyenne ou la variance n’ont pas de sens, et l’on utilise des diagrammes en colonnes, en barres ou circulaires.

💡 Astuce mémo

Modalités ordinales ordonnées, modalités nominales non ordonnées

📖 5. Normalité et transformations

★ À maîtriser

📌 Les méthodes statistiques supposent souvent que les observations sont indépendantes et de même loi, cette loi étant fréquemment modélisée par une loi normale $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ pour des données quantitatives.

• La normalité peut être examinée par:

  • un test d’ajustement
  • une comparaison des fonctions de répartition
  • un graphique Q-Q

• Si les données suivent une loi normale, le Q-Q-plot est proche d’une droite ; pour une loi $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$, cette droite est approximativement $y=\mu+\sigma x$.

📌 Lorsque la normalité n’est pas satisfaite, on peut utiliser une méthode non paramétrique ou transformer les données par une fonction croissante.

Compléments

📐 Formule - Si X possède une fonction de répartition continue F, alors la transformation $Y=\Phi^{-1}(F(X))$ suit une loi normale standard $\mathcal{N}(0{,}1)$.

📐 Formule - Les transformations de Box-Cox sont définies par $g_{\lambda,\theta}(x)=\log(x+\theta)$ si λ=0 et $g_{\lambda,\theta}(x)=\frac{(x+\theta)^\lambda-1}{\lambda}$ si λ>0.

💡 Astuce mémo

Normalité non satisfaite → méthode non paramétrique ou transformation des données

📖 6. Fonction de répartition théorique

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de répartition : La fonction $F(t)=P(X\leq t)$.
• Inverse généralisé : L’inverse généralisé d’une fonction de répartition est défini par $F^{-1}(u)=\inf\{x:F(x)\geq u\}$ pour u dans [0,1].

★ À maîtriser

• Une fonction de répartition est croissante, continue à droite et possède des limites à gauche.

• Une variable uniforme sur [0,1] peut être transformée en une variable de fonction de répartition F par l’application de l’inverse généralisé de F.

Compléments

📐 Formule - Pour tout t_0, la probabilité ponctuelle vérifie $P(X=t_0)=F(t_0)-F(t_0^-)$.

💡 Astuce mémo

Répartition → inverse généralisé → simulation par uniforme

📖 7. Fonction de répartition empirique

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour un échantillon de loi inconnue, la fonction de répartition empirique est $\widehat{F}_n(t)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\mathbf{1}_{\{X_i\leq t\}}$.

• La fonction de répartition empirique est une fonction en escalier dont les marches ont une hauteur de 1/n et dont les sauts se situent aux observations ordonnées.

📌 Lorsque les observations sont i.i.d. de fonction de répartition F, la fonction empirique converge vers F pour tout t et cette convergence est uniforme d’après le théorème de Glivenko-Cantelli.

💡 Astuce mémo

Moyenne des indicatrices → estimation de la loi → convergence uniforme

📖 8. Poids et caractéristiques numériques

★ À maîtriser

📐 Formule - Des poids individuels vérifient $w_i\geq 0$ pour tout i et $\sum_{i=1}^{n}w_i=1$ ; si tous les individus ont le même poids, alors $w_i=\frac{1}{n}$.

• Les principales caractéristiques numériques sont:
  • la moyenne empirique
  • les quantiles
  • la variance empirique
  • l’écart interquartile

Compléments

📐 Formule - L’écart interquartile est défini par $q_{3/4}-q_{1/4}$.

• Le diagramme en boîte à moustaches représente les quartiles, la médiane et les valeurs extrêmes d’une série.

💡 Astuce mémo

Position décrit le centre, dispersion décrit la variabilité

📊 Tableaux de synthèse

Types de variables et représentations