Fiche de révision : Statistiques descriptives

📋 Plan du Cours

1. Données et types de variables
2. Décrire les variables qualitatives
3. Paramètres de position
4. Quartiles et boîtes à moustaches
5. Paramètres de dispersion
6. Moments et forme des distributions

📖 1. Données et types de variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable : Caractère mesuré d’un phénomène.
• Donnée manquante : Case vide dans le tableau de données.

★ À maîtriser

• Dans un tableau de données, chaque ligne correspond aux données d’un sujet, chaque colonne à une variable et chaque case à une donnée.

• Une variable quantitative permet de comparer les résultats selon leur grandeur et d’effectuer leur somme, tandis qu’une variable qualitative décrit des catégories.

• Une variable quantitative discrète ne peut prendre que certaines valeurs, tandis qu’une variable quantitative continue peut prendre des valeurs dans un continuum.

• Une variable qualitative ordinale possède des modalités ordonnées, tandis qu’une variable nominale n’a pas de modalités ordonnées.

Compléments

• Une variable binaire possède deux modalités et une variable codée 1/0 est souvent appelée variable indicatrice.

• Le patientID est un exemple de variable codée en nombres qui n’est pas quantitative.

💡 Astuce mémo

Un nombre n’est pas toujours une quantité : patientID est un code, tandis que la taille est quantitative.

📖 2. Décrire les variables qualitatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Effectif d’une modalité : Nombre de fois où cette modalité apparaît.
• Fréquence d’une modalité : Effectif de la modalité rapporté à l’effectif total.
• Effectif total : Somme des effectifs de toutes ses modalités.

★ À maîtriser

• Les variables qualitatives sont résumées par les effectifs et les fréquences de leurs modalités.

Compléments

📌 La fréquence rapportée à l’effectif total inclut les données manquantes dans le dénominateur, tandis que la fréquence rapportée à l’effectif non manquant les exclut.

📖 3. Paramètres de position

🔑 Notions clés & Définitions

• Mode : Valeur la plus fréquemment observée dans une distribution.
• Moyenne arithmétique : Somme des mesures divisée par leur nombre.
• Médiane : Valeur qui partage une série ordonnée en deux groupes de même effectif.

★ À maîtriser

📌 La médiane est plus robuste que la moyenne aux valeurs extrêmes, qui peuvent fortement modifier la moyenne mais affectent peu la médiane.

Compléments

• Une distribution peut être unimodale, bimodale ou plurimodale selon le nombre de modes qu’elle présente.

• Pour une série ordonnée de 2p+1 valeurs, la médiane est la valeur de rang p+1.

• Pour une série ordonnée de 2p valeurs, la médiane est la demi-somme des valeurs de rang p et p+1.

📌 Pour une distribution asymétrique, la médiane est généralement le paramètre de position à privilégier, tandis que pour une distribution symétrique la moyenne et la médiane peuvent être confondues.

📖 4. Quartiles et boîtes à moustaches

🔑 Notions clés & Définitions

• Quartile : Valeurs qui partagent une série ordonnée en quatre groupes d’effectifs identiques.
• Écart interquartile : L’écart interquartile est la différence entre le troisième et le premier quartile, $IQR=Q3-Q1$, et contient 50 % des valeurs.
• Quantile : Les quantiles généralisent les quartiles en partageant les données ordonnées en parts égales ; les centiles divisent les données en 100 parts égales.

★ À maîtriser

• Q1 désigne le premier quartile, Q2 la médiane et Q3 le troisième quartile.

• Dans une boîte à moustaches, la boîte centrale est définie par Q1 et Q3 et contient 50 % des valeurs.

Compléments

• Dans une boîte à moustaches, la position de la médiane par rapport à la boîte renseigne sur la symétrie de la distribution.

• Dans la représentation décrite, les moustaches s’étendent depuis la médiane jusqu’au minimum ou au maximum, dans la limite de 1,5 fois l’écart interquartile.

• Les points situés hors de l’intervalle délimité par les moustaches représentent des valeurs extrêmes ou aberrantes.

💡 Astuce mémo

Une boîte entre Q1 et Q3 encadre la moitié centrale des valeurs, avec la médiane à l’intérieur.

📖 5. Paramètres de dispersion

🔑 Notions clés & Définitions

• Étendue : Différence entre sa valeur maximale et sa valeur minimale.
• Variance : Moyenne des carrés des écarts des valeurs à leur moyenne.
• Coefficient de variation : Le coefficient de variation est sans dimension et s’exprime généralement en pourcentage.

★ À maîtriser

• L’écart-type est la racine carrée de la variance.

Compléments

• Plus une variable est dispersée, plus sa variance est grande.

📖 6. Moments et forme des distributions

🔑 Notions clés & Définitions

• Moment d’ordre r : Espérance de X élevée à la puissance r, si elle existe.
• Moment centré : Le moment centré d’ordre r d’une variable X est défini, s’il existe, à partir des écarts à la moyenne de X.

★ À maîtriser

• Le moment d’ordre 1 est l’espérance, qui correspond à une valeur moyenne théorique.

• Le moment centré d’ordre 2 représente la variance.

• Le coefficient d’asymétrie, ou skewness, est un moment centré réduit d’ordre 3 et vaut 0 pour une distribution symétrique.

• Le coefficient d’aplatissement, ou kurtosis, est dérivé d’un moment centré réduit d’ordre 4.

Compléments

• Le moment d’ordre 3 est lié à l’asymétrie de la distribution.

• Le moment d’ordre 4 est lié à l’aplatissement de la distribution.

• Les catégories d’aplatissement se distinguent ainsi :

  • Une distribution mésokurtique a γ2 égal à 0
  • Une distribution leptokurtique a γ2 supérieur à 0
  • Une distribution platikurtique a γ2 inférieur à 0