Fiche de révision : Statistiques descriptives et ajustement linéaire

📋 Plan du Cours

1. Vocabulaire statistique fondamental
2. Série statistique à une variable
3. Séries statistiques à deux variables
4. Série statistique injective
5. Corrélation linéaire
6. Droites de régression linéaire

📖 1. Vocabulaire statistique fondamental

🔑 Notions clés & Définitions

• Population : Ensemble des individus sur lesquels porte une étude statistique.
• Échantillon : Partie de la population étudiée.
• Caractère : Information sur laquelle porte l’étude statistique ; il est quantitatif s’il est mesurable et qualitatif dans le cas contraire.
• Effectif : Nombre d’individus d’une population ou d’une partie de cette population.

📖 2. Série statistique à une variable

🔑 Notions clés & Définitions

• Série statistique simple : Une série statistique simple décrit une étude portant sur un seul caractère et se note $(x_i,n_i)$, où $x_i$ désigne une valeur du caractère et $n_i$ son effectif.

★ À maîtriser

📐 Formule - L’effectif total d’une série est $N=\sum_{i=1}^{p}n_i$.

📐 Formule - La moyenne d’une série non groupée est $\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p}n_ix_i$ ; pour une série groupée en classes, elle est $\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p}n_ic_i$, où $c_i$ est le centre de la classe.

📐 Formule - La variance vaut $V(x)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p}n_ix_i^2-\bar{x}^{2}$, ou $V(x)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p}n_ic_i^2-\bar{x}^{2}$ pour une série groupée en classes.

Compléments

📐 Formule - L’écart-type est $\sigma(x)=\sqrt{V(x)}$ et la fréquence partielle de la valeur $x_i$ est $f_i=\frac{n_i}{N}$, avec $\sum_{i=1}^{p}f_i=1$.

📌 Une série statistique simple peut être groupée en classes ou présentée sans regroupement en classes.

• Pour les tailles 170, 172, 175, 180 et 185 cm d’effectifs 1, 2, 3, 3 et 1, l’effectif total est 10, la moyenne est 176,4 cm, la variance est 19,84 et l’écart-type est 4,45 cm.

📖 3. Séries statistiques à deux variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Série statistique double : Une série statistique double étudie simultanément deux caractères différents $x$ et $y$ et se note $(x_i,y_j,n_{ij})$.
• Tableau de contingence : Tableau à double entrée qui représente une série statistique de deux variables.
• Point moyen : Barycentre des points $M_{ij}(x_i,y_j)$ affectés de leurs effectifs $n_{ij}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - L’effectif total d’une série double est $N=\sum_{i=1}^{p}\sum_{j=1}^{q}n_{ij}$, où $n_{ij}$ est l’effectif du couple $(x_i,y_j)$.

📐 Formule - La covariance d’une série double est $\operatorname{Cov}(x,y)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p}\sum_{j=1}^{q}n_{ij}x_iy_j-\bar{x}\bar{y}$.

Compléments

📐 Formule - Les effectifs marginaux sont $n_{i\cdot}=\sum_{j=1}^{q}n_{ij}$ pour $i$ fixé et $n_{\cdot j}=\sum_{i=1}^{p}n_{ij}$ pour $j$ fixé ; les fréquences marginales correspondantes sont $f_{i\cdot}=\frac{n_{i\cdot}}{N}$ et $f_{\cdot j}=\frac{n_{\cdot j}}{N}$.

📐 Formule - La fréquence du couple $(x_i,y_j)$ est $f_{ij}=\frac{n_{ij}}{N}$ ; les fréquences conditionnelles sont $f_{x_i/y_j}=\frac{n_{ij}}{n_{\cdot j}}$ et $f_{y_j/x_i}=\frac{n_{ij}}{n_{i\cdot}}$.

📖 4. Série statistique injective

🔑 Notions clés & Définitions

• Série injective : Une série double est injective lorsque $n_{ij}=1$ si $i=j$ et $n_{ij}=0$ si $i\ne j$ ; elle se note $(x_i,y_i)$ et se présente sous la forme de deux lignes de même longueur.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour une série injective de $N$ couples, les moyennes sont $\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i$ et $\bar{y}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}y_i$.

📐 Formule - Les variances d’une série injective sont $V(x)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i^2-\bar{x}^{2}$ et $V(y)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}y_i^2-\bar{y}^{2}$ ; les écarts-types sont $\sigma(x)=\sqrt{V(x)}$ et $\sigma(y)=\sqrt{V(y)}$.

📐 Formule - Pour une série injective, la covariance est $\operatorname{Cov}(x,y)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_iy_i-\bar{x}\bar{y}$.

• Dans une série injective, le point moyen a pour coordonnées $G(\bar{x},\bar{y})$ et se situe toujours au centre du nuage de points.

📖 5. Corrélation linéaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient de corrélation : Le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $y$ est $r=\frac{\operatorname{Cov}(x,y)}{\sqrt{V(x)V(y)}}=\frac{\operatorname{Cov}(x,y)}{\sigma(x)\sigma(y)}$.

★ À maîtriser

📌 Le coefficient de corrélation vérifie toujours $-1\le r\le 1$.

📌 La corrélation est forte si $|r|\ge 0{,}87$ ou si $r^2\ge 0{,}75$, et faible si $|r|<0{,}87$ ou si $r^2<0{,}75$.

Compléments

📌 La corrélation est parfaite si $r=-1$ ou $r=1$, et nulle si $r=0$ ; dans ce dernier cas, il n’existe aucune corrélation linéaire entre $x$ et $y$, mais une relation non linéaire peut exister.

• Une corrélation forte permet d’estimer une valeur d’une variable à partir de l’autre à l’aide des droites de régression.

📖 6. Droites de régression linéaire

★ À maîtriser

📐 Formule - La droite de régression de $y$ en $x$ s’écrit $y-\bar{y}=a(x-\bar{x})$ avec $a=\frac{\operatorname{Cov}(x,y)}{V(x)}$.

• La méthode des moindres carrés détermine les droites de régression de $y$ en $x$ et de $x$ en $y$ à partir de la covariance et des variances des variables.

Compléments

📐 Formule - Les coefficients directeurs des deux droites de régression vérifient $aa'=r^2$.

• Les droites de régression peuvent se mettre respectivement sous les formes $y=ax+b$ et $x=a'y+b'$ et passent toujours par le point moyen.