Fiche de révision : Statistique descriptive et indices

📋 Plan du Cours

1. Variables et modalités statistiques
2. Covariance de deux variables
3. Nuage de points bivarié
4. Indices synthétiques de prix et quantité
5. Corrélation des rangs
6. Dépendance entre variables qualitatives
7. Indices élémentaires
8. Test du Khi deux
9. Mesures de liaison par Khi deux

📖 1. Variables et modalités statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Unité statistique : Élément étudié, comme un individu, une entreprise ou un ménage, sur lequel on mesure un caractère.
• Modalité : Valeur possible prise par une variable, laquelle prend une seule valeur pour chaque unité statistique.

📝 Points essentiels

📌 Une variable qualitative nominale a des modalités qui ne peuvent pas être ordonnées, tandis qu’une variable qualitative ordinale a des modalités ordonnables.

📌 Une variable quantitative discrète prend des valeurs numériques entières, tandis qu’une variable quantitative continue peut prendre des valeurs décimales.

💡 Astuce mémo

Catégories sans ordre : nominale ; catégories ordonnées : ordinale.

📖 2. Covariance de deux variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Covariance : Mesure de la dispersion conjointe de deux variables autour de leurs moyennes respectives.

📝 Points essentiels

📐 Formule - La covariance de X et Y s’écrit $\operatorname{Cov}(X,Y)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$.

📖 3. Nuage de points bivarié

🔑 Notions clés & Définitions

• Nuage de points : Ensemble des points représentant les couples de valeurs de deux variables quantitatives observées sur les mêmes individus, avec généralement X en abscisse et Y en ordonnée.

📝 Points essentiels

• L’observation d’un nuage de points permet d’apprécier la forme linéaire ou non de la relation, son sens positif ou négatif et son intensité selon la dispersion des points autour d’une trajectoire.

📖 4. Indices synthétiques de prix et quantité

📝 Points essentiels

📐 Formule - L’indice des prix de Laspeyres utilise les quantités de la période de base comme pondérations : $L_p=\frac{\sum_k P_{t,k}Q_{0,k}}{\sum_k P_{0,k}Q_{0,k}}\times100$.

📐 Formule - L’indice des prix de Paasche utilise les quantités courantes comme pondérations : $P_p=\frac{\sum_k P_{t,k}Q_{t,k}}{\sum_k P_{0,k}Q_{t,k}}\times100$.

📐 Formule - Les indices de Fisher sont les moyennes géométriques des indices de Laspeyres et de Paasche : $F_p=\sqrt{L_pP_p}$ et $F_q=\sqrt{L_qP_q}$.

📐 Formule - La décomposition de la valeur vérifie $I_v=\frac{I_pI_q}{100}$.

💡 Astuce mémo

Laspeyres surestime l’inflation, Paasche la sous-estime ; Fisher se place entre les deux.

📖 5. Corrélation des rangs

📝 Points essentiels

📐 Formule - Le coefficient de corrélation des rangs présenté dans l’exemple est calculé par $P=1-\frac{6\sum d_i^2}{n(n^2-1)}$.

📖 6. Dépendance entre variables qualitatives

📝 Points essentiels

• Pour étudier la dépendance entre deux variables qualitatives, on compare les effectifs observés à ceux attendus sous l’hypothèse d’indépendance.

📐 Formule - Sous l’hypothèse d’indépendance, l’effectif théorique de la case (i,j) est $n^*_{ij}=\frac{n_{i.}n_{.j}}{N}=\frac{\text{total ligne }i\times\text{total colonne }j}{N}$.

📖 7. Indices élémentaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Indice élémentaire : Indicateur statistique sans unité qui mesure l’évolution du prix ou de la quantité d’une grandeur économique unique entre une période de base et une période courante.

📝 Points essentiels

📐 Formule - L’indice élémentaire de la période courante t par rapport à la période de base 0 est $I_{t/0}=\frac{X_t}{X_0}\times 100$.

📖 8. Test du Khi deux

📝 Points essentiels

• Le test du Khi deux oppose l’hypothèse nulle d’indépendance des variables à l’hypothèse alternative de dépendance.

📐 Formule - La statistique du Khi deux est $\chi^2=\sum_i\sum_j\frac{(n_{ij}-n^*_{ij})^2}{n^*_{ij}}$, où $n_{ij}$ désigne l’effectif observé et $n^*_{ij}$ l’effectif théorique.

📖 9. Mesures de liaison par Khi deux

📝 Points essentiels

📐 Formule - Le Phi carré est défini par $\varphi^2=\frac{\chi^2}{N}$, où N est l’effectif total.

📐 Formule - Le V de Cramer est défini par $V=\sqrt{\frac{\varphi^2}{\min(i-1;j-1)}}$.

📊 Tableaux de synthèse

Pondérations des indices synthétiques