Fiche de révision : Statistiques descriptives et inférence

📋 Plan du Cours

1. Unités et système international
2. Conversions et équations dimensionnelles
3. Données et nature des variables
4. Résumé et représentation des données
5. Échantillonnage et estimation statistique
6. Fonctions et opérations usuelles
7. Applications de la dérivée
8. Puissances et exponentielles de base a
9. Fonctions puissances et logarithmes de base a
10. Séries de Fourier et symétries
11. Variables aléatoires et probabilités
12. Lois discrètes et continues
13. Approximations et tests statistiques
14. Constitution et espèces nucléaires
15. Cohésion et énergie de liaison nucléaire
16. Vallée de stabilité et radioactivité
17. Rayonnements ionisants
18. Grandeurs dosimétriques

📅 Repères chronologiques

1. 1911Rutherford a découvert le noyau.
2. 1932Chadwick a découvert le neutron.
3. 1960Le système international d’unités (SI) a été adopté au niveau international par la Conférence générale des poids et mesures.
4. 2018La révision majeure du SI a fondé le système sur les valeurs numériques fixées de sept constantes fondamentales, à partir desquelles sont définies les sept unités de base.

📖 1. Unités et système international

🔑 Notions clés & Définitions

• Grandeur physique : Attribut d’un phénomène, d’un corps ou d’une substance, susceptible d’être distingué qualitativement et déterminé quantitativement, selon la norme NF X07-001.

★ À maîtriser

📌 Une grandeur mesurable reçoit une valeur numérique par observation ou expérimentation et ses sommes ou produits ont un sens, tandis que les opérations de somme ou de produit sur une grandeur repérable, telle une date, n’ont pas de sens.

• Les sept grandeurs fondamentales sont :

  • la longueur (L)
  • la masse (M)
  • le temps (T)
  • le courant électrique (I)
  • la température thermodynamique (θ)
  • la quantité de matière (N ou n)
  • l’intensité lumineuse (J)

• Une valeur numérique de grandeur physique dépourvue d’unité précisée n’a pas de sens, et l’unité choisie doit être cohérente avec la dimension de la grandeur.

📌 Une grandeur possède une seule dimension, mais peut s’exprimer en plusieurs unités, comme une vitesse en m·s⁻¹ ou en km·h⁻¹.

• Les sept unités de base du SI sont :
  • la seconde (s)
  • le mètre (m)
  • le kilogramme (kg)
  • l’ampère (A)
  • le kelvin (K)
  • la mole (mol)
  • la candela (cd)

Compléments

• La fraction molaire est sans unité, car elle correspond au rapport de deux quantités de matière.

• Le SI comprend également deux unités dérivées sans dimension : le radian pour l’angle plan et le stéradian pour l’angle solide.

• Les exemples d’unités dérivées présentés sont : le mètre carré pour l’aire, le mètre cube pour le volume, le mètre par seconde pour la vitesse, le mètre par seconde carrée pour l’accélération, le kilogramme par mètre cube pour la masse volumique

• Le pascal (Pa) est l’unité SI de pression, le joule (J) celle de l’énergie, du travail et de la quantité de chaleur, le watt (W) celle de la puissance et le degré Celsius (°C) une unité de température liée au kelvin.

📖 2. Conversions et équations dimensionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation aux dimensions : Relation entre dimensions, car une loi physique affirme l’égalité de deux grandeurs de même nature.
• Incertitude absolue : Incertitude associée à une mesure et exprimée avec la même significativité que cette mesure.

★ À maîtriser

📌 La précision d’une mesure dépend de l’incertitude indiquée et le résultat doit être écrit avec une significativité cohérente avec cette incertitude, par exemple 70,0 cm ± 0,2 cm.

• Tous les chiffres non nuls sont significatifs ; les zéros intérieurs et ceux à la fin après la virgule le sont aussi, les zéros initiaux ne le sont jamais, et les zéros finaux d’un nombre entier sans virgule peuvent être ambigus.

• Pour arrondir à un nombre donné de chiffres significatifs, on conserve les chiffres demandés et on augmente le dernier chiffre conservé d’une unité si le premier chiffre supprimé vaut 5, 6, 7, 8 ou 9.

Compléments

📐 Formule - La température Celsius est reliée à la température kelvin par $T(°C)=T(K)-273{,}15$.

• La puissance de dix $10^n$ correspond à 1 suivi de n zéros lorsque n est un entier positif.

📌 La notation scientifique écrit un nombre sous la forme d’un chiffre avant la virgule suivi des autres chiffres et d’une puissance de dix, tandis que la notation par préfixes exprime les multiples ou sous-multiples décimaux, comme mmol/L.

• La vitesse se calcule en divisant une distance par un temps, ce que permettent de retrouver ses unités telles que m·s⁻¹ ou km·h⁻¹.

📌 187,50 comporte cinq chiffres significatifs et indique une précision supérieure à 187,5, qui en comporte quatre.

📖 3. Données et nature des variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Population : L’ensemble des éléments auxquels on veut généraliser les résultats d’une étude.
• Échantillon : Une partie de la population sur laquelle les mesures sont effectivement réalisées.
• Variable : Une donnée ou une information recueillie sur les éléments statistiques d’une étude.
• Variable quantitative continue : S’exprime avec une unité de mesure et peut prendre une infinité de valeurs dans un spectre donné.
• Variable quantitative discrète : Ne peut prendre qu’un nombre limité de valeurs, généralement des entiers naturels positifs, comme un nombre d’enfants.
• Variable nominale : Possède plusieurs modalités qui ne sont pas hiérarchisées.
• Variable ordinale : Possède des modalités hiérarchisées, comme les niveaux faible, modéré et fort d’intensité de douleur.
• Élément statistique : La plus petite unité, personne ou autre élément, sur laquelle les mesures sont effectuées.

★ À maîtriser

• Une variable quantitative prend des valeurs numériques mesurables, tandis qu’une variable qualitative permet de dénombrer les individus par modalité.

• Regrouper une variable continue en classes la transforme en variable qualitative, mais entraîne une perte d’information qui empêche de retrouver les valeurs exactes.

• Les nombres d’enfants sont quantitatifs discrets car les écarts entre valeurs correspondent à des unités proportionnelles, tandis que les stades de gravité sont qualitatifs ordinaux car les écarts entre stades ne sont pas nécessairement quantifiables.

Compléments

• Une variable binaire est une variable nominale qui possède deux modalités, par exemple malade et non malade.

• L’âge peut être regroupé en quatre classes : [0–18[, [18–30[, [30–50[ et au moins 50 ans, avec un individu âgé de 18 ans affecté à la deuxième classe.

💡 Astuce mémo

Ordinal : ordre sans pas mesurable ; discret : valeurs dénombrables avec pas constant.

📖 4. Résumé et représentation des données

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne arithmétique : La somme des valeurs observées divisée par l’effectif total.
• Variance : La moyenne des carrés des écarts des valeurs à la moyenne et mesure leur dispersion autour de celle-ci.
• Écart-type : La racine carrée de la variance, il est toujours positif et s’exprime dans la même unité que la moyenne.
• Médiane : Une valeur telle que 50 % des observations lui sont inférieures et 50 % lui sont supérieures.
• Quartiles : Les quartiles partagent l’échantillon en quatre parts : Q1 laisse 25 % des valeurs en dessous et 75 % au-dessus, Q2 correspond à la médiane, et Q3 laisse 75 % en dessous et 25 % au-dessus.
• Intervalle interquartile : Compris entre le premier et le troisième quartile, couvre les 50 % d’individus situés autour de la médiane et mesure la dispersion.

★ À maîtriser

📌 Un paramètre de position résume les données autour d’une valeur, tandis qu’un paramètre de dispersion décrit leur éloignement ou leur variabilité autour de cette valeur.

• Un histogramme représente les classes d’une variable quantitative en abscisse et la densité d’effectif, l’effectif ou le pourcentage en ordonnée.

📐 Formule - Dans une boîte à moustaches, les pseudo-bornes sont $Q_1 - 1{,}5 \times IQR$ et $Q_3 + 1{,}5 \times IQR$.

📌 Les observations au-delà des pseudo-bornes d’une boîte à moustaches sont des valeurs extrêmes potentielles qui nécessitent un contrôle qualité ; une valeur vérifiée et possible est conservée, tandis qu’une erreur de saisie ou de mesure est aberrante.

• Un nuage de points sert à visualiser l’association éventuelle et la forme de la relation entre deux variables quantitatives.

• Un tableau de contingence croise les effectifs de deux variables qualitatives et permet d’étudier leur association par des calculs et des tests statistiques.

Compléments

• La variance s’exprime dans l’unité de la variable au carré.

• Deux groupes de patients ont une perte sanguine moyenne de 13,2 cL, mais leurs écarts-types sont respectivement de 5,1 cL et 6,5 cL, ce qui indique une dispersion plus élevée dans le second groupe.

• Pour un effectif pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales après classement des observations par ordre croissant.

• Les déciles divisent les données en 10 parts et les centiles en 100 parts ; ces indicateurs appartiennent aux quantiles.

📖 5. Échantillonnage et estimation statistique

🔑 Notions clés & Définitions

• Fluctuation d’échantillonnage : La variation due au hasard entre les estimations obtenues dans des échantillons distincts d’une même population.

• Inférence : Consiste à estimer les paramètres d’une population à partir des paramètres mesurés sur un échantillon.
• Intervalle de confiance : Un intervalle calculé autour d’une estimation ponctuelle avec une probabilité de couverture de 1−α, où α est le risque d’erreur fixé a priori.
• Estimateur non biaisé : Un estimateur est non biaisé si la moyenne de ses valeurs obtenues sur un grand nombre d’échantillons approche le paramètre de la population.
• Estimateur convergent : Un estimateur est convergent s’il est non biaisé ou asymptotiquement sans biais et si sa variance tend vers zéro lorsque la taille de l’échantillon tend vers l’infini.

★ À maîtriser

• Un échantillon représentatif vise à reproduire les caractéristiques de la population, et le tirage aléatoire simple donne à chaque individu la même probabilité d’être sélectionné.

• Le théorème central limite indique que, pour un effectif pratiquement supérieur à 30, la moyenne d’un échantillon suit approximativement une loi normale de moyenne μ et d’écart-type σ/√n.

• La moyenne d’échantillon est un estimateur non biaisé et convergent de la moyenne de la population.

📌 Pour estimer la moyenne par intervalle lorsque σ est inconnu et l’effectif est petit, la statistique suit une loi de Student à n−1 degrés de liberté.

📌 L’approximation normale de l’intervalle d’une proportion est possible si n est supérieur à 30, np est au moins 5 et n(1−p) est au moins 5.

Compléments

• La variance corrigée de l’échantillon, calculée avec le facteur correctif n/(n−1), est un estimateur non biaisé de la variance de la population.

• La proportion d’échantillon est un estimateur non biaisé de la proportion de la population et sa variance tend vers zéro lorsque l’effectif augmente.

• Le risque α est souvent fixé à 5 % ; dans ce cas, 5 intervalles sur 100 ne contiennent pas le paramètre de la population.

📌 Pour estimer la moyenne par intervalle lorsque σ est connu ou lorsque l’effectif est grand, on utilise σ ou l’écart-type d’échantillon S si σ est inconnu.

• Les statistiques descriptives résument les données d’un échantillon, tandis que l’inférence permet d’estimer les paramètres de la population et peut aussi servir aux comparaisons.

💡 Astuce mémo

Échantillon → estimateur → intervalle de confiance → population.

📖 6. Fonctions et opérations usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Associe à chaque nombre réel x de son ensemble de définition un nombre réel f(x), appelé image de x.

★ À maîtriser

📌 Le quotient de deux fonctions n’est défini que pour les valeurs où le dénominateur est non nul, ce qui peut réduire leur domaine commun.

Compléments

• L’ensemble de définition d’une fonction est le plus grand sous-ensemble de ℝ sur lequel la fonction peut être calculée.

• Le graphe d’une fonction représente les points de coordonnées (x, f(x)) pour les x de son ensemble de définition.

• La fonction racine carrée est définie sur ℝ+ ou [0 ; +∞[.

• La fonction inverse f(x)=1/x est définie sur ℝ privé de 0, car la division par zéro est impossible.

📐 Formule - La somme de deux fonctions est définie point par point par $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ sur leur domaine commun.

📐 Formule - Le produit de deux fonctions est défini point par point par $(fg)(x)=f(x)g(x)$ sur leur domaine commun.

📖 7. Applications de la dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

• Composition de fonctions : La composée de deux fonctions s’écrit $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ : on applique d’abord $f$, puis $g$, à condition que $x\in I$ et que $f(x)\in J$.
• Dérivabilité en un point : Une fonction $f$ est dérivable en $a$ si le quotient $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ admet une limite lorsque $h$ tend vers $0$ ; cette limite, notée $f'(a)$, est la dérivée de $f$ en $a$.

★ À maîtriser

• La dérivée $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$.

📐 Formule - L’équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ est $y=f(a)+f'(a)(x-a)$.

📌 Si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ et si $f'\geq0$ sur $I$, alors $f$ est croissante sur $I$.

📌 Si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ et si $f'\leq0$ sur $I$, alors $f$ est décroissante sur $I$.

📐 Formule - Pour des fonctions $f$ et $g$ dérivables et des constantes $\lambda$ et $\mu$, $(\lambda f+\mu g)'=\lambda f'+\mu g'$ ; en particulier, $(f+g)'=f'+g'.$

📐 Formule - Si $f$ et $g$ sont dérivables sur un intervalle, la dérivée de leur produit est $(fg)'=f'g+fg'.$

Compléments

• Si $f(x)=x^4$ sur $\mathbb{R}$ et $g(x)=\sqrt{x}$ sur $\mathbb{R}_+$, alors $(g\circ f)(x)=x^2$ et son domaine est $\mathbb{R}$.

• Si $f(x)=(x-1)(x+1)$ et $g(x)=\sqrt{x}$, alors $(g\circ f)(x)=\sqrt{(x-1)(x+1)}$ est définie sur $]-\infty;-1]\cup[1;+\infty[$, car il faut que $f(x)\geq0$.

• La dérivée en $a$ est aussi la limite $f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$.

• Si $f$ est dérivable en tout point d’un intervalle $I$, elle est dite dérivable sur $I$ et sa dérivée est notée $f'$.

• Lorsque $x$ est proche de $a$, la fonction affine $f(a)+f'(a)(x-a)$ fournit une approximation de $f(x)$.

💡 Astuce mémo

Signe de f′ positif → f croît ; signe négatif → f décroît.

📖 8. Puissances et exponentielles de base a

🔑 Notions clés & Définitions

• Exponentielle de base a : La fonction exponentielle de base a est définie par $x\mapsto a^x=\exp(x\ln(a))$, pour tout réel a strictement positif.

★ À maîtriser

📐 Formule - La dérivée de l’exponentielle de base a est $\frac{d}{dx}a^x=\ln(a)a^x$.

📐 Formule - Pour tous réels x et y et tout réel a strictement positif, $a^{x+y}=a^xa^y$, $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$, $a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}$ et $(a^x)^y=a^{xy}$.

📌 Si a>1, la fonction exponentielle de base a est croissante et ses limites sont $\lim_{x\to+\infty}a^x=+\infty$ et $\lim_{x\to-\infty}a^x=0$.

📌 Si 0<a<1, la fonction exponentielle de base a est décroissante et ses limites sont $\lim_{x\to+\infty}a^x=0$ et $\lim_{x\to-\infty}a^x=+\infty$.

Compléments

📐 Formule - Pour tout réel strictement positif a et tout entier naturel n, $a^n=\exp(n\ln(a))$.

• Pour a=e, l’exponentielle de base a est la fonction exponentielle usuelle, car $e^x=\exp(x)$.

• La fonction exponentielle de base a est définie, continue et dérivable sur $\mathbb{R}$.

💡 Astuce mémo

Si a > 1, la courbe monte ; si 0 < a < 1, elle descend.

📖 9. Fonctions puissances et logarithmes de base a

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction puissance : Pour tout réel m, la fonction puissance d’exposant m est définie sur $]0,+\infty[$ par $x\mapsto x^m=\exp(m\ln(x))$.
• Logarithme en base a : Pour a>0, le logarithme en base a est la fonction définie pour x>0 par $\log_a(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout réel m et tout x>0, la dérivée de la fonction puissance est $\frac{d}{dx}x^m=mx^{m-1}$.

📐 Formule - La dérivée du logarithme en base a vérifie, pour x>0, $(\log_a)'(x)=\frac{1}{\ln(a)}\frac{1}{x}$.

📌 Pour a>0 avec a≠1, les fonctions logarithme en base a et exponentielle de base a sont réciproques : $\log_a(a^x)=x$ pour x∈ℝ et $a^{\log_a(x)}=x$ pour x>0.

Compléments

• Les fonctions puissances sont définies, continues et dérivables sur $]0,+\infty[$, car leur définition fait intervenir $\ln(x)$.

📖 10. Séries de Fourier et symétries

🔑 Notions clés & Définitions

• Harmonique : Fréquence égale à un multiple entier de la fréquence de base ; n détermine la fréquence, le rang 1 est l’harmonique fondamentale et les rangs supérieurs sont les harmoniques supérieures.

★ À maîtriser

• Une fonction périodique de période 2π peut être développée en série de Fourier comme somme d’un terme constant et de termes en sinus et cosinus de fréquences multiples de la fréquence fondamentale.

📌 La série de Fourier d’une fonction paire ne contient pas de termes en sinus, car tous les coefficients des sinus sont nuls.

📌 La série de Fourier d’une fonction impaire ne contient pas de termes en cosinus, et son coefficient constant ainsi que tous les coefficients des cosinus sont nuls.

• Le coefficient constant a₀ d’une série de Fourier est la valeur moyenne de la fonction sur l’intervalle d’intégration de longueur égale à une période.

Compléments

• Dans une série de Fourier, les fonctions cos(nx) et sin(nx) ont pour période 2π/n lorsque n est strictement positif.

• Pour une fonction périodique de période T, les bornes d’intégration des coefficients de Fourier peuvent être choisies librement dès lors qu’elles délimitent une période complète.

💡 Astuce mémo

Fonction paire : sinus éliminés ; fonction impaire : cosinus éliminés.

📖 11. Variables aléatoires et probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Expérience aléatoire : Expérience dont les dénouements possibles sont connus, mais dont le résultat ne peut pas être prédit avec certitude.
• Variable aléatoire : Attribution d’une valeur numérique aux résultats d’une expérience aléatoire ou d’une enquête.

• Distribution de probabilités : Description, au moyen d’une loi de probabilité, du comportement probabiliste d’une variable aléatoire dans une population étudiée.

📝 Points essentiels

📌 Une variable aléatoire discrète prend des valeurs distinctes, en nombre fini ou infini, tandis qu’une variable continue peut prendre une infinité de valeurs dans un intervalle donné.

📌 L’approche classique calcule une probabilité a priori à partir de propriétés mathématiques sans observer une série d’expériences, tandis que l’approche fréquentiste l’estime a posteriori à partir des fréquences observées.

📐 Formule - Si m résultats équiprobables sont possibles et que k d’entre eux réalisent l’évènement A, alors $P(A)=\frac{k}{m}$.

📖 12. Lois discrètes et continues

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de probabilité : Pour une variable aléatoire discrète X, fonction qui associe à chaque valeur possible xₖ la probabilité P(X=xₖ).
• Fonction de répartition : Primitive de la densité de probabilité f, qui donne la probabilité cumulée jusqu’à une valeur donnée.
• Espérance : Moyenne de la variable aléatoire sur l’ensemble de la population sur laquelle elle est définie.
• Loi de Bernoulli : Loi décrivant une variable dichotomique à deux résultats de probabilités P et Q, avec Q=1−P.
• Loi binomiale : Loi décrivant le nombre de succès observés dans un échantillon de taille n lorsque la probabilité d’un succès est P et celle de son complément est Q=1−P.
• Loi normale : Loi continue dont la densité est caractérisée par une courbe en cloche symétrique centrée sur sa moyenne μ.
• Loi de Poisson : Loi modélisant notamment le nombre d’évènements observés lorsque n est très grand et que la probabilité individuelle est faible ; son paramètre λ vaut nP dans l’exemple du nombre de malades.

★ À maîtriser

• Pour une variable continue, la probabilité qu’elle appartienne à un intervalle se calcule en intégrant sa densité de probabilité sur cet intervalle.

• Pour utiliser la table de la loi normale centrée réduite, on transforme une variable normale X de moyenne μ et d’écart-type σ en $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$.

Compléments

• Pour une variable aléatoire de loi de Poisson, l’espérance et la variance sont toutes deux égales au paramètre λ.

• Pour une loi binomiale de paramètres n et P, l’espérance vaut nP et la variance vaut nPQ.

📖 13. Approximations et tests statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Test statistique : Méthode permettant de prendre une décision sur une population à partir des résultats expérimentaux d’un échantillon représentatif, avec un risque d’erreur quantifié.
• Loi du χ² : Somme des carrés de k variables aléatoires indépendantes suivant chacune une loi normale centrée réduite, et suivant une loi à k degrés de liberté.
• Loi t de Student : Loi définie à partir d’une variable Z normale centrée réduite et d’une variable Y suivant une loi du χ² à k degrés de liberté, indépendantes.

★ À maîtriser

• Une variable exprimant un pourcentage peut être approximée par une loi normale si nP≥5 et nQ≥5 ; le cours indique alors une moyenne P et une variance PQ/n.

• Si n est suffisamment grand, la moyenne estimée d’un échantillon suit approximativement une loi normale de moyenne μ et de variance σ²/n ; le cours donne n≥30 comme condition pratique.

• Le risque de première espèce α est la probabilité de rejeter H₀ alors qu’elle est vraie, tandis que le risque de deuxième espèce β est la probabilité de ne pas rejeter H₀ alors qu’elle est fausse.

• 🔄 La conduite d’un test statistique suit cinq étapes :

  1. Formuler H₀, H₁ et la variable de décision.
  2. Déterminer la loi de cette variable sous H₀.
  3. Fixer α et la zone de rejet.
  4. Comparer la valeur expérimentale à la zone de rejet.
  5. Rejeter H₀ si la valeur s’y trouve et ne pas la rejeter autrement.

Compléments

📌 Une loi de Poisson peut être approximée par une loi normale lorsque son paramètre λ est suffisamment grand.

• La puissance d’un test statistique est la probabilité de rejeter H₀ à raison et vaut 1−β.

💡 Astuce mémo

Hypothèses → loi sous H₀ → seuil α → comparaison → décision.

📖 14. Constitution et espèces nucléaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Nucléide : Noyau atomique d’une espèce donnée caractérisée par son nombre de masse A et son numéro atomique Z.

★ À maîtriser

📌 Deux isotopes ont le même numéro atomique Z et des nombres de masse A différents, donc les mêmes propriétés chimiques mais des propriétés physiques différentes.

📌 Deux isobares ont le même nombre de masse A et des numéros atomiques Z différents, mais pas nécessairement des propriétés physiques identiques, et ont des propriétés chimiques différentes.

Compléments

• L’iode 131 est utilisé pour la thérapie des cancers thyroïdiens, l’iode 123 pour l’imagerie diagnostique de la thyroïde et l’iode 124 pour l’imagerie TEP des cancers thyroïdiens.

• L’abondance isotopique est le pourcentage respectif de chaque isotope naturel d’un élément ; le chlore naturel comprend 75,4 % de chlore 35 et 24,6 % de chlore 37, tandis que l’uranium naturel comprend 99,3 % d’uranium 238 et 0,7 % d’uranium 235.

📌 Deux isotones ont le même nombre de neutrons A − Z et des numéros atomiques Z différents.

📌 Deux isomères ont les mêmes valeurs de A et de Z, mais des niveaux énergétiques différents, l’un pouvant être dans l’état fondamental et l’autre dans un état excité.

💡 Astuce mémo

Isotopes : même Z, A différent ; isobares : même A, Z différent.

📖 15. Cohésion et énergie de liaison nucléaire

★ À maîtriser

📌 Dans le noyau, les forces électromagnétiques entre protons se repoussent, tandis que les forces de liaison nucléaires, plus fortes, assurent la cohésion.

📐 Formule - L’énergie de liaison associée au défaut de masse vérifie $\Delta m c^2=(Z m_p+N m_n-M_{noyau})c^2$.

• L’énergie de liaison est l’énergie disponible pour séparer un noyau en ses constituants et, inversement, l’énergie à fournir pour former le noyau à partir de ses constituants.

• Plus le rapport entre le défaut d’énergie et le nombre de masse augmente, plus le noyau est stable.

Compléments

• Le défaut de masse correspond à l’énergie de liaison des nucléons.

• Le défaut d’énergie vaut 28,3 MeV pour l’hélium (Z = 2, A = 4) et 1 560 MeV pour l’or (Z = 79, A = 197).

• À nombre de nucléons croissant, le défaut d’énergie du noyau augmente.

📖 16. Vallée de stabilité et radioactivité

🔑 Notions clés & Définitions

• Vallée de stabilité : Zone du diagramme neutron-proton où se trouvent les nucléides stables, selon leur composition en protons et en neutrons.
• Radioactivité : Retour d’un nucléide instable vers la stabilité par transformation, avec émission de particules et de rayonnements particulaires ou électromagnétiques.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le bilan énergétique de la fusion deutérium-tritium vérifie $\Delta E_{\text{fusion}} = \Delta E^* - (\Delta E_1 + \Delta E_2) > 0$ et vaut 17,6 MeV.

• Dans la fusion deutérium-tritium, les noyaux sont rompus en leurs constituants, puis la réaction produit un noyau d’hélium, un neutron et de l’énergie, avec un bilan énergétique positif.

• La fission de l’uranium 235 libère environ 200 MeV par atome, soit environ 16 TJ par mole de 235 g d’uranium 235.

• Les nucléides instables par excès de neutrons, par excès de protons ou par excès de nucléons se situent respectivement dans les zones A, B et C autour de la vallée de stabilité.

• Une transformation radioactive est spontanée, probabiliste et exoénergétique.

Compléments

• La fusion deutérium-tritium nécessite notamment des températures extrêmes.

• L’énergie totale libérée par une réaction nucléaire est la somme de l’énergie liée au défaut de masse et de l’énergie cinétique des particules éjectées.

• La diagonale du diagramme des nucléides correspond aux noyaux pour lesquels le nombre de neutrons N est égal au nombre de protons Z.

📌 La radioactivité naturelle provient de radioéléments présents dans la nature, tandis que la radioactivité artificielle provient de nucléides modifiés pour devenir radioactifs.

• La radioactivité naturelle persiste parce que certains radioéléments ont des demi-vies très longues.

📖 17. Rayonnements ionisants

★ À maîtriser

📌 Les transformations isobariques conservent le nombre de masse, les transformations par partition le modifient, tandis que les transitions isomériques changent le niveau énergétique sans modifier la constitution du noyau.

• L’excès de neutrons conduit principalement à une émission β−, l’excès de protons à une émission β+ ou à une capture électronique, et l’excès de nucléons à une émission α ou à une fission.

• Un rayonnement ionisant peut être électromagnétique (rayons X ou γ) ou particulaire (électrons, positons, protons ou neutrons).

📌 Les rayons γ sont d’origine nucléaire, tandis que les rayons X sont d’origine électronique.

📌 Un rayonnement est ionisant si son énergie est supérieure ou égale à 13,6 eV, seuil correspondant à l’énergie nécessaire pour ioniser l’atome d’hydrogène.

• Les photons X et γ interagissent avec la matière principalement par effet photoélectrique, effet Compton et création de paires.

• Lors de l’effet photoélectrique, un photon éjecte un électron des couches K ou L en lui transférant toute son énergie; l’électron reçoit une énergie cinétique égale à l’énergie du photon moins l’énergie de liaison.

• Lors de l’effet Compton, le photon incident interagit avec un électron libre ou peu lié et répartit son énergie entre l’électron et un photon diffusé.

Compléments

• La fusion crée un noyau, tandis que la fission casse un noyau.

• Les mêmes mécanismes d’interaction des rayonnements avec la matière se manifestent dans la matière vivante et dans la matière inerte.

• Après l’éjection photoélectrique d’un électron, le réarrangement du cortège électronique peut produire des rayons X ou des électrons Auger.

📖 18. Grandeurs dosimétriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Dose absorbée : La dose absorbée est l’énergie déposée par unité de masse, avec $1\,\mathrm{J/kg}=1\,\mathrm{Gy}$.
• Dose équivalente : La dose équivalente Ht est la dose absorbée moyenne dans un tissu, pondérée par le facteur de rayonnement Wr, et s’exprime en sieverts (Sv).
• Dose efficace : La dose efficace E est la somme des doses équivalentes des tissus, pondérées par le facteur tissulaire Wt, et s’exprime en sieverts (Sv).
• Débit de dose : Le débit de dose est la dose absorbée par unité de temps, exprimée notamment en Gy/s ou en mGy/h.

★ À maîtriser

📐 Formule - La dose équivalente vérifie $H_t=\sum_r W_rD_{tr}$, où Dtr est la dose moyenne du rayonnement r dans le tissu t.

📐 Formule - La dose efficace vérifie $E=\sum_t W_tH_t$, et la somme des facteurs de pondération tissulaire Wt vaut 1.

📌 Les effets déterministes sont exprimés en gray (Gy), tandis que les effets stochastiques tardifs sont exprimés en sievert (Sv).

Compléments

• Une irradiation gamma de l’ensemble du corps à 4 à 5 Gy entraîne le décès d’une personne sur deux.

• La probabilité des effets tardifs dépend de la dose absorbée, de la qualité de l’irradiation et de la radiosensibilité de l’organe ou du tissu concerné.

• Pour une dose absorbée de 1 Gy, la dose équivalente est de 1 Sv avec des rayons γ et de 20 Sv avec des rayons α.

• Les poumons, le sein et la thyroïde sont des organes radiosensibles, tandis que le foie et la peau sont peu radiosensibles.

💡 Astuce mémo

Absorbée → équivalente → efficace : énergie, type de rayonnement, puis tissu.

📊 Tableaux de synthèse

Familles de noyaux