Fiche de révision : Logique et raisonnements mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Propositions et valeurs de vérité
2. Fonctions propositionnelles et prédicats
3. Quantificateurs et ordre logique
4. Négation et contre-exemple
5. Conjonction et disjonction
6. Implication et conditions logiques
7. Équivalence et double implication
8. Lois logiques et lois de Morgan
9. Contraposée et disjonction des cas
10. Démonstration par récurrence

📖 1. Propositions et valeurs de vérité

🔑 Notions clés & Définitions

• Proposition : Énoncé mathématique ayant une seule valeur de vérité, vraie ou fausse, et ne pouvant être vraie et fausse en même temps.

📝 Points essentiels

• Un théorème est une proposition dont la valeur de vérité est vraie.

• L’écriture « x + 2 = » n’est pas une proposition, car elle ne constitue pas un énoncé mathématique ayant une valeur de vérité.

📖 2. Fonctions propositionnelles et prédicats

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction propositionnelle : Énoncé mathématique contenant une variable d’un ensemble E qui devient une proposition lorsqu’on remplace cette variable par un élément déterminé de E.
• Domaine de définition : Ensemble E auquel appartient la variable d’une fonction propositionnelle.

📝 Points essentiels

• Pour Q(x) : « x ∈ ℤ ; 2x − 3 < 0 », Q(1) est vraie et Q(4) est fausse.

📖 3. Quantificateurs et ordre logique

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantificateur existentiel : Le quantificateur existentiel ∃ affirme qu’il existe au moins un élément de E qui vérifie la propriété P(x).
• Quantificateur universel : Symbole qui affirme que tous les éléments de E vérifient la propriété P(x).
• Quantificateur d’unicité : Symbole qui affirme qu’il existe un unique élément x de E vérifiant P(x).

★ À maîtriser

📌 L’ordre de quantificateurs de types différents est fondamental : « pour tout x, il existe y » n’a pas le même sens que « il existe y, pour tout x ».

Compléments

• Dans une proposition quantifiée, la variable liée est muette : remplacer sa lettre par une autre ne change pas le sens.

• Deux quantificateurs existentiels successifs peuvent être échangés sans changer le sens, tout comme deux quantificateurs universels successifs.

📖 4. Négation et contre-exemple

🔑 Notions clés & Définitions

• Négation : Proposition vraie lorsque P est fausse et fausse lorsque P est vraie.

📝 Points essentiels

📌 La négation de « pour tout x ∈ E, P(x) » est « il existe x ∈ E tel que P̅(x) ».

• Pour réfuter une proposition universelle, il suffit de trouver un élément de son domaine pour lequel la propriété est fausse ; ce raisonnement est appelé raisonnement par contre-exemple.

💡 Astuce mémo

Un universel se réfute par un seul contre-exemple.

📖 5. Conjonction et disjonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Disjonction : Proposition fausse seulement lorsque P et Q sont toutes deux fausses.
• Conjonction : Proposition vraie seulement lorsque P et Q sont toutes deux vraies.

📝 Points essentiels

• La conjonction et la disjonction sont commutatives et associatives.

• La conjonction est distributive par rapport à la disjonction, et la disjonction est distributive par rapport à la conjonction.

💡 Astuce mémo

OU échoue si les deux échouent ; ET réussit si les deux réussissent.

📖 6. Implication et conditions logiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Implication : Proposition fausse seulement lorsque P est vraie et Q est fausse.

★ À maîtriser

📌 La réciproque Q ⇒ P d’une implication P ⇒ Q n’est pas nécessairement vraie.

📌 Dans P ⇒ Q, P est une condition suffisante pour Q, et Q est une condition nécessaire pour P.

Compléments

📌 Dans l’implication P ⇒ Q, P est l’hypothèse et Q la conclusion ; si P est fausse, l’implication ne permet pas de conclure que Q est vraie ou fausse.

• L’implication vérifie $P \Rightarrow Q \Leftrightarrow (\overline{P} \text{ ou } Q)$.

💡 Astuce mémo

P suffit pour Q ; Q est nécessaire pour P.

📖 7. Équivalence et double implication

🔑 Notions clés & Définitions

• Équivalence : Proposition vraie lorsque P et Q ont la même valeur de vérité, donc lorsqu’elles sont toutes deux vraies ou toutes deux fausses.

★ À maîtriser

• L’équivalence vérifie $P \Leftrightarrow Q \Leftrightarrow [(P \Rightarrow Q) \text{ et } (Q \Rightarrow P)]$.

Compléments

• Les expressions « P si et seulement si Q », « condition nécessaire et suffisante » et « il faut et il suffit » expriment une équivalence.

• L’équivalence est commutative et transitive.

💡 Astuce mémo

P ⇒ Q et Q ⇒ P donnent P ⇔ Q.

📖 8. Lois logiques et lois de Morgan

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi logique : Proposition composée de propositions et de connecteurs logiques qui reste vraie quelles que soient les valeurs de vérité des propositions en jeu.

★ À maîtriser

• Les lois de Morgan sont $\overline{(P \text{ et } Q)} \Leftrightarrow (\overline{P} \text{ ou } \overline{Q})$ et $\overline{(P \text{ ou } Q)} \Leftrightarrow (\overline{P} \text{ et } \overline{Q})$.

Compléments

• Parmi les tautologies figurent P ou ¬P, et la loi de transitivité de l’implication : si P ⇒ Q et Q ⇒ R, alors P ⇒ R.

📖 9. Contraposée et disjonction des cas

★ À maîtriser

📌 La négation de P ⇒ Q est P et ¬Q, sa réciproque est Q ⇒ P et sa contraposée est ¬Q ⇒ ¬P.

• Une implication et sa contraposée sont équivalentes : $(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\overline{Q} \Rightarrow \overline{P})$.

• Pour démontrer P ⇒ Q par contraposée, on suppose ¬Q vraie et on démontre que ¬P est vraie.

Compléments

• Un raisonnement par disjonction des cas traite séparément les cas possibles, puis établit le résultat dans chacun d’eux.

💡 Astuce mémo

La contraposée conserve l’équivalence ; la réciproque n’est pas garantie.

📖 10. Démonstration par récurrence

★ À maîtriser

• Une démonstration par récurrence établit une propriété au rang initial n₀, montre que P(n) entraîne P(n+1) pour tout n ≥ n₀, puis conclut que P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀.

Compléments

• Pour tout entier naturel n ≥ 1, la somme des cubes vérifie $1^3+2^3+\cdots+n^3=\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2$.

💡 Astuce mémo

Énoncer, initialiser, prouver l’hérédité, conclure.