Fiche de révision : Fonctions du premier degré

📋 Plan du Cours

1. Fonctions linéaires et affines
2. Fonctions constantes
3. Appartenance d’un point au graphique
4. Pente et accroissement constant
5. Ordonnée à l’origine
6. Variation selon le signe de m
7. Déterminer l’expression analytique
8. Zéro d’une fonction
9. Tableaux de signes
10. Comparaison de fonctions

📖 1. Fonctions linéaires et affines

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction du premier degré : Donnée par une expression de la forme $f(x)=mx+p$ avec $m\ne0$.
• Fonction affine : Une fonction affine est de la forme $f(x)=mx+p$ avec $p\ne0$ ; son graphique passe par le point $(0;p)$ et ses variables ne sont pas proportionnelles.

📝 Points essentiels

📌 Une fonction linéaire est de la forme $f(x)=mx$ avec $p=0$ ; son graphique passe par l’origine et ses variables sont proportionnelles.

💡 Astuce mémo

Linéaire : passe par l’origine ; affine : passe par (0 ; p).

📖 2. Fonctions constantes

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction constante : Une fonction constante est de la forme $f(x)=p$ ; elle est de degré 0 et son graphique est une droite parallèle à l’axe des abscisses.

💡 Astuce mémo

Une droite horizontale, parallèle à l’axe des abscisses.

📖 3. Appartenance d’un point au graphique

📝 Points essentiels

📌 Un point appartient au graphique d’une fonction si ses coordonnées vérifient son expression analytique ou si le point placé dans le repère appartient à la courbe représentative.

📖 4. Pente et accroissement constant

🔑 Notions clés & Définitions

• Pente : La pente d’une fonction du premier degré est le rapport constant entre l’accroissement des images et celui des abscisses, soit $m=\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux points distincts $A(x_A;f(x_A))$ et $B(x_B;f(x_B))$, la pente vaut $m=\frac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A}$.

Compléments

📐 Formule - Pour des accroissements $a$ de l’abscisse et $b$ de l’image, la pente vaut $m=\frac{b}{a}$.

📖 5. Ordonnée à l’origine

🔑 Notions clés & Définitions

• Ordonnée à l’origine : L’ordonnée à l’origine est l’ordonnée du point d’intersection du graphique avec l’axe des ordonnées ; pour $f(x)=mx+p$, elle vaut $p=f(0)$.

📖 6. Variation selon le signe de m

📝 Points essentiels

📌 Pour une fonction du premier degré $f(x)=mx+p$, si $m>0$, la fonction est strictement croissante.

📌 Pour une fonction du premier degré $f(x)=mx+p$, si $m<0$, la fonction est strictement décroissante.

💡 Astuce mémo

m positif : la droite monte ; m négatif : elle descend.

📖 7. Déterminer l’expression analytique

★ À maîtriser

• Pour déterminer l’expression analytique $f(x)=mx+p$ à partir de deux points, on calcule d’abord la pente avec les coordonnées des points, puis on remplace les coordonnées d’un point dans l’expression pour déterminer $p$.

Compléments

• Dans un tableau de valeurs d’une fonction du premier degré, des accroissements égaux de $x$ correspondent à des accroissements égaux de $f(x)$.

💡 Astuce mémo

Trouver m, puis p, pour écrire f(x)=mx+p.

📖 8. Zéro d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Zéro d’une fonction : Le zéro d’une fonction du premier degré est l’abscisse du point d’intersection de son graphique avec l’axe des abscisses ; c’est l’unique valeur qui annule la fonction.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Le zéro d’une fonction linéaire $f(x)=mx$ est $x=0$.

📐 Formule - Le zéro d’une fonction affine $f(x)=mx+p$ est $x=-\frac{p}{m}$.

📖 9. Tableaux de signes

★ À maîtriser

📌 Pour une fonction du premier degré de pente $m$, le signe de $f(x)$ est contraire à celui de $m$ avant son zéro, nul au zéro, puis égal à celui de $m$ après son zéro.

Compléments

📌 Une fonction constante $f(x)=p$ avec $p\ne0$ n’a pas de zéro et garde le signe de $p$ sur son domaine.

• La fonction constante nulle $f(x)=0$ s’annule pour tout réel et ne possède pas de tableau de signes avec des intervalles de signes positifs ou négatifs.

📖 10. Comparaison de fonctions

★ À maîtriser

📌 Résoudre $f(x)=g(x)$ revient à déterminer l’abscisse du ou des points d’intersection des graphiques de $f$ et $g$.

• Pour déterminer le point d’intersection de deux fonctions du premier degré ou constantes à partir de leurs expressions, on résout $f(x)=g(x)$ pour trouver l’abscisse, puis on calcule l’image de cette abscisse par l’une des fonctions.

Compléments

• La méthode qui consiste à résoudre $f(x)=g(x)$ pour déterminer l’intersection de deux fonctions s’appelle la comparaison.