QCM : Logique et raisonnements mathématiques (11 questions)

Explication

Une proposition est un énoncé mathématique doté d’une seule valeur de vérité : vraie ou fausse. Une variable libre caractérise plutôt une fonction propositionnelle, tandis qu’une écriture incomplète ne possède pas de valeur de vérité.

Explication

Un théorème est une proposition dont la valeur de vérité est vraie, comme l’égalité entre la somme des angles d’un triangle et 180°. L’énoncé sur 15 est faux, l’écriture incomplète n’a pas de valeur de vérité et l’énoncé avec une variable non fixée n’est pas encore une proposition.

Explication

Une fonction propositionnelle devient une proposition lorsqu’on remplace sa variable par un élément déterminé de son ensemble. Une substitution fixe la variable, elle ne crée pas une autre fonction ni un ensemble de valeurs.

Explication

En remplaçant $x$ par 4, on obtient $2 \times 4 - 3 = 5$, et $5 < 0$ est faux. La réponse « vraie » inverse le sens de l’inégalité, tandis que le calcul avec 1 substitue une autre valeur.

Explication

L’ordre indiqué signifie que y peut être choisi en fonction de chaque valeur de x. L’affirmation qu’un même y convient pour chaque x inverse l’ordre des quantificateurs et exprime une condition différente.

Explication

Un contre-exemple est un élément du domaine qui ne vérifie pas la propriété annoncée, et un seul suffit à invalider l’affirmation universelle. Un élément extérieur au domaine ne permet pas de réfuter cette affirmation, car il n’est pas concerné par son quantificateur.

Explication

La conjonction exprime que les deux propositions doivent être vraies pour que leur combinaison soit vraie. Contrairement à la disjonction, elle n’est pas vraie lorsqu’une seule des deux propositions est vraie.

Explication

Si $P$ est vraie, l’implication garantit que $Q$ est vraie, ce qui fait de $P$ une condition suffisante pour $Q$ et de $Q$ une condition nécessaire pour $P$. La réciproque $Q \Rightarrow P$ n’est pas garantie, donc ces rôles ne sont pas interchangeables.

Explication

Lorsque P et Q ont la même valeur de vérité, chacune implique l’autre, ce qui rend vraie leur double implication. La seule implication de P vers Q ne garantit pas sa réciproque.

Explication

La négation d’une disjonction est la conjonction des négations : il faut que P et Q soient toutes deux fausses. « Non-P ou non-Q » correspond plutôt à la négation de la conjonction « P et Q ».

Explication

La contraposée de $P \Rightarrow Q$ est $\overline{Q} \Rightarrow \overline{P}$, et elle est équivalente à l’implication initiale. L’inversion simple, $Q \Rightarrow P$, est la réciproque et n’est pas garantie équivalente.