Fiche de révision : Statistiques descriptives quantitatives

📋 Plan du Cours

1. Notions fondamentales de statistique
2. Typologie des variables statistiques
3. Description des variables qualitatives
4. Présentation des variables quantitatives
5. Paramètres de position
6. Mesures de dispersion
7. Quantiles et fractiles

📖 1. Notions fondamentales de statistique

🔑 Notions clés & Définitions

• Statistique descriptive : Ensemble de méthodes qui résument et présentent des données sans chercher à généraliser à une population.
• Inférence : Fait d’étendre les propriétés d’un échantillon à la population.
• Variable statistique : Série d’observations portant sur une caractéristique des individus, comme leur âge ou leur genre.
• Population : Ensemble d’éléments homogènes auxquels on s’intéresse.
• Échantillon : Sous-ensemble de la population effectivement observé, notamment lorsque la population est trop grande.

📖 2. Typologie des variables statistiques

★ À maîtriser

• Une variable quantitative est mesurable par un nombre, tandis qu’une variable qualitative prend des modalités désignées par des noms non quantifiables.

• Une variable quantitative discrète ne peut prendre qu’un nombre fini ou dénombrable de valeurs, généralement des nombres entiers de comptage, tandis qu’une variable quantitative continue peut prendre un continuum de valeurs.

• Les modalités d’une variable qualitative nominale ne peuvent pas être classées naturellement, tandis que celles d’une variable ordinale suivent un ordre naturel sans écart numérique mesurable.

Compléments

• Le nombre de chutes survenues chez chaque participant au cours des 12 derniers mois est une variable quantitative discrète de comptage, qui prend des valeurs entières comme 0, 1, 2 ou 3.

• Une variable qualitative peut résulter du regroupement d’une variable quantitative, comme une mention au bac regroupant des notes.

• Le stade d’une pathologie et l’échelle de Rankin modifiée, qui classe le handicap de 0 à 6 selon le degré d’atteinte, sont des exemples de variables ordinales.

📖 3. Description des variables qualitatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Mode : Modalité la plus fréquente d’une variable qualitative.

★ À maîtriser

📐 Formule - La fréquence relative de la modalité $x_i$ est $f_i = \frac{n_i}{n}$, où $n_i$ est son effectif et $n$ l’effectif total.

• La moyenne, la variance et l’écart-type ne sont pas calculables sur des catégories qualitatives, mais le mode l’est.

📌 Le diagramme en barres permet des comparaisons précises, fonctionne avec de nombreuses modalités et respecte l’ordre ordinal, tandis que le camembert montre intuitivement des proportions mais devient illisible au-delà de 5 à 6 modalités.

Compléments

📐 Formule - Pour une variable ordinale, l’effectif cumulé jusqu’à $x_i$ est $N_i = \sum_{j=1}^{i} n_j$ et la fréquence cumulée est $F_i = \sum_{j=1}^{i} f_j$.

• Pour une variable nominale, un cumul d’effectifs ou de fréquences est possible, mais son ordre doit être réfléchi car il n’est pas naturellement défini.

• Pour une variable ordinale, l’ordre des barres suit l’ordre naturel des modalités et ne doit pas être remplacé par un tri selon les effectifs.

• L’effectif absolu $n_i$ compte les observations de la modalité $x_i$, tandis que sa fréquence relative $f_i$ rapporte cet effectif à l’effectif total.

• Dans un diagramme sectoriel, l’angle et l’aire de chaque secteur sont proportionnels à la fréquence de la modalité, et ce graphique convient à un petit nombre de modalités.

📖 4. Présentation des variables quantitatives

★ À maîtriser

• Lorsque l’effectif $N$ est grand, les données quantitatives peuvent être regroupées en classes définies par des intervalles de la forme $[e_{i-1},e_i[$.

Compléments

📐 Formule - La fréquence de la classe $i$ est $f_i = \frac{n_i}{N}$, où $n_i$ est son effectif et $N$ l’effectif total.

📐 Formule - Le centre de la classe $[e_{i-1},e_i[$ est $C_i = \frac{e_{i-1}+e_i}{2}$ et sert de représentant de cette classe.

📖 5. Paramètres de position

🔑 Notions clés & Définitions

• Médiane : La valeur qui partage les données ordonnées en deux groupes de même effectif.
• Mode : La valeur observée la plus fréquente, correspondant à l’effectif ou à la fréquence maximale.

★ À maîtriser

📐 Formule - La moyenne arithmétique des valeurs observées est $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$.

📌 La moyenne de moyennes de groupes fusionnés est égale à la moyenne globale seulement si les groupes ont tous le même effectif.

• Pour calculer la moyenne d’une variable discrète, on multiplie chaque valeur observée par son effectif, on additionne ces produits, puis on divise par l’effectif total.

• La moyenne est très sensible aux valeurs extrêmes, contrairement à la médiane, qui y est peu sensible.

Compléments

📐 Formule - Pour une variable discrète, la moyenne pondérée vérifie $\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{p}n_i x_i}{n}=\sum_{i=1}^{p}f_i x_i$, avec $\sum_{i=1}^{p}n_i=n$.

📐 Formule - Pour des données groupées en classes, la moyenne est approximée par $\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{k}n_i C_i$, où $C_i$ est le centre de la classe.

📐 Formule - Pour une série ordonnée de 2p valeurs, la médiane est $\tilde{x}=\frac{x_p+x_{p+1}}{2}$.

📌 Pour une série ordonnée de 2p + 1 valeurs, la médiane est la valeur de rang p + 1.

• Les paramètres de position comprennent :

  • la moyenne arithmétique
  • la moyenne géométrique
  • la moyenne harmonique
  • la moyenne quadratique
  • la médiane
  • le mode

• La somme algébrique des écarts des observations à leur moyenne est nulle.

📌 La moyenne arithmétique concerne uniquement les variables quantitatives et est exprimée dans l’unité de la variable, tandis que la médiane peut aussi être utilisée pour des données ordinales.

📌 Une distribution est unimodale si elle a un seul mode, multimodale si plusieurs valeurs ou classes partagent la fréquence maximale, et amodale si aucune valeur ne présente un mode net.

• Dans une distribution en cloche unimodale et symétrique, la moyenne, le mode et la médiane coïncident.

📖 6. Mesures de dispersion

🔑 Notions clés & Définitions

• Variance : La moyenne arithmétique des carrés des écarts des observations à la moyenne; elle s’exprime dans l’unité de la variable au carré.
• Écart-type : La racine carrée de la variance, exprimée dans la même unité que la variable.
• Étendue : L’écart entre la valeur maximale et la valeur minimale d’une série.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le coefficient de variation est le rapport de l’écart-type à la moyenne : $CV_x=\frac{\sigma_x}{\bar{x}}$.

• Les paramètres de dispersion décrivent l’étalement d’une distribution et font généralement intervenir les écarts à la moyenne.

Compléments

📐 Formule - L’écart interquartile est $EIQ=Q_3-Q_1$ et l’écart semi-interquartile est $\frac{Q_3-Q_1}{2}$.

📌 Pour estimer la variance d’une population à partir d’un échantillon, on applique la correction avec le dénominateur N − 1; l’estimation est notée S².

• L’écart interquartile contient la moitié des observations entre Q1 et Q3; un quart se trouve sous Q1 et un quart au-dessus de Q3.

• Le coefficient de variation est sans unité, s’exprime généralement en pourcentage et augmente avec la dispersion relative autour de la moyenne.

• Pour des nouveau-nés, les poids ont une moyenne de 3 200 g et un écart-type de 350 g, tandis que les tailles ont une moyenne de 50 cm et un écart-type de 2 cm; leurs coefficients de variation sont respectivement 10,9 % et 4,0 %, donc le poids est relativement plus variable.

📖 7. Quantiles et fractiles

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantile : Une valeur telle que Q % des observations lui sont inférieures ou égales.

★ À maîtriser

• Q1 correspond au quantile de 25 %, Q2 à celui de 50 % et Q3 à celui de 75 %; Q2 est la médiane.

Compléments

• Les quartiles, déciles et centiles divisent une population ordonnée en respectivement 4, 10 et 100 parties de même effectif.

• L’intervalle interquartile est l’intervalle [X25 % ; X75 %].

• Le 10e percentile est la valeur telle que 10 % des observations lui sont inférieures ou égales, et le 90e percentile sépare les premiers 90 % des observations des 10 % restants.

📊 Tableaux de synthèse

Graphiques des variables qualitatives