Fiche de révision : Algèbre et probabilités MYP5

📋 Plan du Cours

1. Développements algébriques et coefficients
2. Probabilités conditionnelles et événements
3. Conditions de la loi binomiale
4. Calculs et paramètres binomiaux
5. Communication et correction des calculs
6. Décisions fondées sur les probabilités

📖 1. Développements algébriques et coefficients

📝 Points essentiels

• Le développement de (x + 3)^4 s’obtient en appliquant le binôme de Newton puis en réduisant les termes semblables.

• Le coefficient de x^3 dans le développement de (x + 2)^5 se détermine en isolant le terme contenant x^3 dans le développement binomial.

📖 2. Probabilités conditionnelles et événements

★ À maîtriser

• Dans une urne contenant 7 boules vertes et 3 jaunes, les probabilités des tirages successifs sans remise changent après chaque tirage.

• Pour calculer une probabilité de tirages successifs représentés par un arbre, on multiplie les probabilités des branches d’un chemin et on additionne les chemins correspondant à l’événement.

Compléments

• Sur 120 élèves, 78 pratiquent les mathématiques en club, 65 participent au club de sciences et 15 ne participent à aucun des deux clubs.

📌 La probabilité conditionnelle qu’un élève pratique les mathématiques sachant qu’il ne participe pas aux sciences a pour dénominateur l’effectif des élèves ne participant pas aux sciences.

• Dans le tableau des options, 180 élèves sont répartis entre 100 élèves de première année et 80 de deuxième année, avec 55 en histoire, 55 en sciences et 55 en arts.

📖 3. Conditions de la loi binomiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi binomiale : Modèle du nombre de succès comptés sur des essais indépendants ayant tous la même probabilité de succès.

📝 Points essentiels

📌 Un tirage de cartes sans remise ne satisfait pas l’indépendance des essais, tandis que des essais indépendants avec probabilités de succès différentes ne satisfont pas l’identité des probabilités requise par la loi binomiale.

• Des lancers indépendants d’un dé équilibré avec succès défini par l’obtention d’un 6 satisfont les conditions d’une loi binomiale.

• Huit tests indépendants ayant chacun une probabilité de réussite de 0,90 satisfont les conditions d’une loi binomiale.

💡 Astuce mémo

Sans remise ou succès de probabilités différentes : le modèle binomial ne convient pas.

📖 4. Calculs et paramètres binomiaux

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une variable binomiale X de paramètres n et p, $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$.

📐 Formule - Pour une variable binomiale X, $E(X)=np$ et $V(X)=np(1-p)$.

Compléments

📐 Formule - Pour une variable binomiale X, $\sigma_X=\sqrt{np(1-p)}$.

• Pour six défis indépendants de probabilité de réussite 0,35, le nombre X de réussites suit une loi binomiale de paramètres n = 6 et p = 0,35.

• Pour douze composants indépendants ayant chacun une probabilité de défectuosité de 0,25, le nombre de composants défectueux suit une loi binomiale de paramètres n = 12 et p = 0,25.

• Pour quatre essais indépendants de probabilité de succès p, la probabilité de zéro succès est (1 − p)^4.

• Pour une variable binomiale, la probabilité d’obtenir au moins un succès est le complément de la probabilité d’obtenir zéro succès.

• Si une variable binomiale a une espérance de 6 et une variance de 3,6, ses paramètres n et p se déterminent en résolvant simultanément E(X)=np et V(X)=np(1-p).

📖 5. Communication et correction des calculs

★ À maîtriser

📌 Pour exprimer « au moins quatre réussites », il faut inclure les événements X = 4 et X = 5 dans le calcul de P(X ≥ 4).

Compléments

📌 Pour une variable binomiale Z, P(Z ≥ 1) regroupe tous les résultats de 1 à n et ne se réduit pas à P(Z = 1).

• Le critère de communication demande de :

  • définir la variable
  • noter correctement les événements
  • ordonner les calculs
  • arrondir et interpréter le résultat
  • légender les représentations nécessaires

• Dans les exercices, les probabilités sont arrondies à quatre décimales sauf indication contraire.

📖 6. Décisions fondées sur les probabilités

★ À maîtriser

• Pour les abonnés d’AtoutNet, 55 % possèdent une connexion fixe ; parmi eux, 28 % utilisent aussi la 4G, tandis que 19 % des abonnés sans connexion fixe utilisent la 4G.

📌 Pour recommander un fournisseur de capteurs, il faut respecter simultanément le budget maximal de 50 000 FCFA et le seuil de 60 % de probabilité qu’au moins huit capteurs sur neuf fonctionnent.

• Pour les billets du festival, 60 % sont prioritaires ; la validation au premier essai vaut 0,80 pour un billet prioritaire et 0,55 pour un billet standard.

• Pour les trajets de la navette, 40 % ont lieu aux heures de pointe, avec une probabilité de ponctualité de 0,65, et les autres ont lieu hors pointe, avec une probabilité de ponctualité de 0,90.

• 🔄 La résolution suit cinq étapes :

  1. identifier les données et hypothèses
  2. choisir et justifier une stratégie
  3. effectuer les calculs
  4. préciser le niveau d’arrondi
  5. interpréter le résultat et ses limites

Compléments

• Le modèle A coûte 38 000 FCFA et attribue à chaque capteur une probabilité de bon fonctionnement de 0,82, tandis que le modèle B coûte 46 000 FCFA avec une probabilité de 0,86.

📌 Le contrôle rapide n’est autorisé que si la probabilité d’obtenir au moins six validations sur huit atteint 55 %.

📌 La navette est jugée suffisamment fiable si la probabilité d’obtenir au moins dix arrivées à l’heure sur douze trajets atteint 40 %.

💡 Astuce mémo

Identifier → choisir → appliquer → préciser → interpréter.

📊 Tableaux de synthèse

Conditions d’application de la loi binomiale

Contraintes des situations-problèmes