QCM : Algèbre et probabilités MYP5 (13 questions)

Question 1

1. En développant puis en réduisant $(x+3)^4$ à l’aide du binôme de Newton, quel polynôme obtient-on ?

x^4+12x^3+54x^2+81x+81

x^4+12x^3+54x^2+108x+81

x^4+12x^3+36x^2+108x+81

x^4+9x^3+54x^2+108x+81

Explication

Le binôme de Newton donne les coefficients $1,4,6,4,1$ : $x^4+4(3)x^3+6(9)x^2+4(27)x+81=x^4+12x^3+54x^2+108x+81$ . Le coefficient $36$ omet le facteur binomial, $9$ remplace le coefficient de $x^3$ , et $81x$ confond les deux termes de degré 1 et 0.

Answer

$$x^4+12x^3+54x^2+108x+81$$

Question 2

2. Une urne contient 7 boules vertes et 3 jaunes. Après avoir tiré une boule verte sans la remettre dans l’urne, quelles sont les probabilités des couleurs au deuxième tirage ?

\frac{7}{9}

pour verte et

\frac{2}{9}

pour jaune

\frac{6}{10}

pour verte et

\frac{3}{10}

pour jaune

\frac{7}{10}

pour verte et

\frac{3}{10}

pour jaune

\frac{6}{9}

pour verte et

\frac{3}{9}

pour jaune

Explication

Sans remise, le premier tirage vert laisse 6 boules vertes et 3 jaunes, soit 9 boules au total; les probabilités sont donc $\frac{6}{9}$ et $\frac{3}{9}$ . Les valeurs $\frac{7}{10}$ et $\frac{3}{10}$ correspondent à une remise, tandis que les autres répartitions retirent une boule de la mauvaise couleur ou conservent un total erroné.

Answer

$$\frac{6}{9}$$ pour verte et $$\frac{3}{9}$$ pour jaune

Question 3

3. Un arbre représente deux tirages successifs sans remise dans une urne avec 7 boules vertes et 3 jaunes. Pour trouver la probabilité d’obtenir exactement une boule verte, quelle méthode faut-il appliquer ?

Additionner les produits des branches des chemins vert-jaune et jaune-vert

Additionner les probabilités des quatre chemins de l’arbre

Multiplier les probabilités des branches du seul chemin vert-jaune

Multiplier les probabilités des chemins vert-jaune et jaune-vert

Explication

La probabilité d’un chemin se calcule en multipliant les probabilités de ses branches, puis les chemins correspondant à l’événement sont additionnés : ici, vert-jaune et jaune-vert. Additionner les branches à l’intérieur d’un chemin confond les deux opérations, et le chemin vert-jaune seul ne couvre pas toutes les issues favorables.

Answer

Additionner les produits des branches des chemins vert-jaune et jaune-vert

Question 4

4. Une équipe effectue 12 essais indépendants, chacun ayant une probabilité de succès de 0,4, et compte les succès. Quel modèle convient au nombre de succès ?

Une loi binomiale de paramètres 12 et 0,4

Un modèle non binomial, car les essais sont indépendants

Une loi binomiale de paramètres 0,4 et 12

Une loi binomiale de paramètres 12 et 0,6

Explication

La loi binomiale s’applique quand on compte les succès d’essais indépendants ayant tous la même probabilité de succès. Les paramètres sont donc 12 essais et une probabilité de succès de 0,4; 0,6 est la probabilité d’échec, et les paramètres ne sont pas inversés.

Answer

Une loi binomiale de paramètres 12 et 0,4

Question 5

5. On compare deux expériences : tirer plusieurs cartes sans remise, ou réaliser des essais indépendants dont la probabilité de succès varie d’un essai à l’autre. Quelle conclusion caractérise correctement ces deux cas au regard de la loi binomiale ?

Les deux conviennent dès lors que le nombre d’essais est fixé

Le premier manque d’une probabilité constante et le second d’indépendance

Les deux satisfont la condition d’indépendance, donc les deux conviennent

Le premier manque d’indépendance et le second d’une probabilité constante

Explication

Une loi binomiale exige à la fois l’indépendance des essais et une probabilité de succès identique à chaque essai. Le tirage sans remise compromet l’indépendance, tandis que des probabilités variables compromettent leur identité.

Answer

Le premier manque d’indépendance et le second d’une probabilité constante

Question 6

6. Une variable binomiale compte les succès de 5 essais, avec une probabilité de succès de 0,2 à chaque essai. Quelle expression donne la probabilité d’obtenir exactement 2 succès ?

(0,2)^2(0,8)^3

\binom{5}{2}(0,2)^3(0,8)^2

\binom{5}{2}(0,8)^2(0,2)^3

\binom{5}{2}(0,2)^2(0,8)^3

Explication

La formule est $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ : ici, 2 succès donnent la puissance 2 de 0,2 et les 3 échecs la puissance 3 de 0,8. L’expression sans coefficient oublie le nombre de dispositions, tandis que les autres inversent les probabilités ou les exposants.

Answer

$$\binom{5}{2}(0,2)^2(0,8)^3$$

Question 7

7. Un contrôle porte sur 12 composants indépendants, chacun ayant une probabilité de 0,25 d’être défectueux. Si $T$ est le nombre de composants défectueux, quels sont son espérance et sa variance ?

E(T)=3

et

V(T)=2,25

E(T)=3

et

V(T)=3

E(T)=9

et

V(T)=2,25

E(T)=2,25

et

V(T)=3

Explication

Pour une loi binomiale, $E(T)=np=12\times0,25=3$ et $V(T)=np(1-p)=12\times0,25\times0,75=2,25$ . La valeur 3 correspond à l’espérance, et la variance inclut aussi la probabilité d’échec.

Answer

$$E(T)=3$$ et $$V(T)=2,25$$

Question 8

8. Lors d’une série de cinq défis, une élève compte le nombre de réussites, noté $X$ . Quelle probabilité représente l’événement « au moins quatre réussites » ?

P(X=5)

P(X=4)+P(X=5)

P(X=4)

P(X=3)+P(X=4)

Explication

« Au moins quatre » inclut quatre et cinq réussites. $P(X=5)$ correspond à « plus de quatre », tandis que $P(X=4)$ omet le cas de cinq réussites et $P(X=3)+P(X=4)$ inclut trois réussites à tort.

Answer

$$P(X=4)+P(X=5)$$

Question 9

9. Pour rendre un compte rendu de probabilité clair et vérifiable, quelle démarche de communication convient ?

Définir la variable, noter les événements, ordonner les calculs, arrondir et interpréter le résultat, puis légender les représentations utiles

Noter les événements et les calculs, mais laisser le résultat sans interprétation ni indication d’arrondi

Définir la variable, donner le résultat arrondi, puis laisser les événements et les calculs implicites

Présenter une représentation légendée et un résultat arrondi, sans préciser la variable ni les événements

Explication

Une communication complète définit la variable, note correctement les événements, ordonne les calculs, arrondit et interprète le résultat, et légende les représentations nécessaires. Un résultat sans variable, des calculs sans interprétation ou une représentation sans notations omet chacun un élément requis.

Answer

Définir la variable, noter les événements, ordonner les calculs, arrondir et interpréter le résultat, puis légender les représentations utiles

Question 10

10. Dans une enquête auprès d’abonnés d’AtoutNet, quelle probabilité d’utiliser la 4G faut-il associer à un abonné qui possède une connexion fixe ?

19\%

24\%

55\%

28\%

Explication

Parmi les abonnés possédant une connexion fixe, 28 % utilisent aussi la 4G. 55 % est la proportion ayant une connexion fixe, 19 % est le taux de 4G chez les abonnés sans connexion fixe, et 24 % correspond à l’affirmation publicitaire à évaluer.

Answer

Retenir un fournisseur seulement si son coût ne dépasse pas 50 000 FCFA et si la probabilité atteint 60 %

Answer

$$0{,}80$$

Answer

Identifier les données et hypothèses, justifier une stratégie, calculer, préciser l’arrondi, puis interpréter le résultat et ses limites

Question 11

11. Une école choisit un fournisseur pour neuf capteurs. Quelle recommandation respecte son budget maximal de 50 000 FCFA et son exigence d’au moins 60 % de probabilité que huit capteurs ou plus fonctionnent ?

Retenir un fournisseur si l’une des deux exigences est satisfaite

Retenir un fournisseur si son coût ne dépasse pas 50 000 FCFA, même si la probabilité est sous 60 %

Retenir un fournisseur seulement si son coût ne dépasse pas 50 000 FCFA et si la probabilité atteint 60 %

Retenir un fournisseur si la probabilité atteint 60 %, même si son coût dépasse 50 000 FCFA

Explication

La décision doit satisfaire simultanément la limite budgétaire et le seuil de probabilité. Vérifier une seule exigence néglige l’autre, et traiter les critères comme alternatifs ne garantit pas le respect des deux.

Question 12

12. Un visiteur est choisi parmi les détenteurs de billets prioritaires d’un festival. Quelle probabilité correspond à la validation de son billet au premier essai ?

0{,}55

0{,}70

0{,}80

0{,}60

Explication

Un billet prioritaire est validé au premier essai avec une probabilité de 0,80. La valeur 0,60 est la proportion de billets prioritaires, 0,55 concerne les billets standards, et 0,70 ne correspond à aucun des taux indiqués.

Question 13

13. Une équipe doit décider, à partir d’un modèle probabiliste, si une solution répond à un besoin concret. Quelle démarche rend sa décision justifiable ?

Interpréter la situation et annoncer une décision avant de justifier les calculs

Choisir une stratégie, calculer et annoncer une décision sans examiner les hypothèses

Identifier les données, calculer et présenter le résultat sans en discuter la portée

Identifier les données et hypothèses, justifier une stratégie, calculer, préciser l’arrondi, puis interpréter le résultat et ses limites

Explication

Une résolution rigoureuse examine les données et les hypothèses, justifie la stratégie, effectue les calculs, précise l’arrondi, puis interprète le résultat et ses limites. Omettre les hypothèses, l’interprétation ou la justification affaiblit la décision.

QCM : Algèbre et probabilités MYP5 (13 questions)

Questions et réponses du QCM

1. En développant puis en réduisant $(x+3)^4$ à l’aide du binôme de Newton, quel polynôme obtient-on ?

2. Une urne contient 7 boules vertes et 3 jaunes. Après avoir tiré une boule verte sans la remettre dans l’urne, quelles sont les probabilités des couleurs au deuxième tirage ?

3. Un arbre représente deux tirages successifs sans remise dans une urne avec 7 boules vertes et 3 jaunes. Pour trouver la probabilité d’obtenir exactement une boule verte, quelle méthode faut-il appliquer ?

4. Une équipe effectue 12 essais indépendants, chacun ayant une probabilité de succès de 0,4, et compte les succès. Quel modèle convient au nombre de succès ?

5. On compare deux expériences : tirer plusieurs cartes sans remise, ou réaliser des essais indépendants dont la probabilité de succès varie d’un essai à l’autre. Quelle conclusion caractérise correctement ces deux cas au regard de la loi binomiale ?

6. Une variable binomiale compte les succès de 5 essais, avec une probabilité de succès de 0,2 à chaque essai. Quelle expression donne la probabilité d’obtenir exactement 2 succès ?

7. Un contrôle porte sur 12 composants indépendants, chacun ayant une probabilité de 0,25 d’être défectueux. Si $T$ est le nombre de composants défectueux, quels sont son espérance et sa variance ?

8. Lors d’une série de cinq défis, une élève compte le nombre de réussites, noté $X$ . Quelle probabilité représente l’événement « au moins quatre réussites » ?

9. Pour rendre un compte rendu de probabilité clair et vérifiable, quelle démarche de communication convient ?

10. Dans une enquête auprès d’abonnés d’AtoutNet, quelle probabilité d’utiliser la 4G faut-il associer à un abonné qui possède une connexion fixe ?

11. Une école choisit un fournisseur pour neuf capteurs. Quelle recommandation respecte son budget maximal de 50 000 FCFA et son exigence d’au moins 60 % de probabilité que huit capteurs ou plus fonctionnent ?

12. Un visiteur est choisi parmi les détenteurs de billets prioritaires d’un festival. Quelle probabilité correspond à la validation de son billet au premier essai ?

13. Une équipe doit décider, à partir d’un modèle probabiliste, si une solution répond à un besoin concret. Quelle démarche rend sa décision justifiable ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Biochimie des constituants cellulaires

Énergie et transformations

Volcanisme et origine des séismes

Statistiques descriptives quantitatives

États de la matière et pH

Lentilles minces et conjugaison

Crée tes propres QCM

QCM : Algèbre et probabilités MYP5 (13 questions)

Questions et réponses du QCM

1. En développant puis en réduisant (x+3)4 (x+3)^4 (x+3)4 à l’aide du binôme de Newton, quel polynôme obtient-on ?

2. Une urne contient 7 boules vertes et 3 jaunes. Après avoir tiré une boule verte sans la remettre dans l’urne, quelles sont les probabilités des couleurs au deuxième tirage ?

3. Un arbre représente deux tirages successifs sans remise dans une urne avec 7 boules vertes et 3 jaunes. Pour trouver la probabilité d’obtenir exactement une boule verte, quelle méthode faut-il appliquer ?

4. Une équipe effectue 12 essais indépendants, chacun ayant une probabilité de succès de 0,4, et compte les succès. Quel modèle convient au nombre de succès ?

5. On compare deux expériences : tirer plusieurs cartes sans remise, ou réaliser des essais indépendants dont la probabilité de succès varie d’un essai à l’autre. Quelle conclusion caractérise correctement ces deux cas au regard de la loi binomiale ?

6. Une variable binomiale compte les succès de 5 essais, avec une probabilité de succès de 0,2 à chaque essai. Quelle expression donne la probabilité d’obtenir exactement 2 succès ?

7. Un contrôle porte sur 12 composants indépendants, chacun ayant une probabilité de 0,25 d’être défectueux. Si TTT est le nombre de composants défectueux, quels sont son espérance et sa variance ?

8. Lors d’une série de cinq défis, une élève compte le nombre de réussites, noté XXX. Quelle probabilité représente l’événement « au moins quatre réussites » ?

9. Pour rendre un compte rendu de probabilité clair et vérifiable, quelle démarche de communication convient ?

10. Dans une enquête auprès d’abonnés d’AtoutNet, quelle probabilité d’utiliser la 4G faut-il associer à un abonné qui possède une connexion fixe ?

11. Une école choisit un fournisseur pour neuf capteurs. Quelle recommandation respecte son budget maximal de 50 000 FCFA et son exigence d’au moins 60 % de probabilité que huit capteurs ou plus fonctionnent ?

12. Un visiteur est choisi parmi les détenteurs de billets prioritaires d’un festival. Quelle probabilité correspond à la validation de son billet au premier essai ?

13. Une équipe doit décider, à partir d’un modèle probabiliste, si une solution répond à un besoin concret. Quelle démarche rend sa décision justifiable ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Biochimie des constituants cellulaires

Énergie et transformations

Volcanisme et origine des séismes

Statistiques descriptives quantitatives

États de la matière et pH

Lentilles minces et conjugaison

Crée tes propres QCM

1. En développant puis en réduisant $(x+3)^4$ à l’aide du binôme de Newton, quel polynôme obtient-on ?

7. Un contrôle porte sur 12 composants indépendants, chacun ayant une probabilité de 0,25 d’être défectueux. Si $T$ est le nombre de composants défectueux, quels sont son espérance et sa variance ?

8. Lors d’une série de cinq défis, une élève compte le nombre de réussites, noté $X$ . Quelle probabilité représente l’événement « au moins quatre réussites » ?