Fiche de révision : Statistiques et probabilités conditionnelles

📋 Plan du Cours

1. Tableaux croisés d’effectifs
2. Fréquences et fréquences conditionnelles
3. Probabilités conditionnelles
4. Exploitation d’un tableau d’effectifs
5. Événements et probabilités

📖 1. Tableaux croisés d’effectifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau croisé d’effectifs : Tableau qui présente les valeurs d’un caractère en ligne et celles d’un autre caractère en colonne, avec à chaque intersection l’effectif des individus présentant simultanément les deux valeurs.
• Effectifs marginaux : Effectifs de chaque caractère, inscrits dans la ligne et la colonne « Total » d’un tableau croisé.

📝 Points essentiels

• L’effectif total d’un tableau croisé est noté T, parfois N.

• Dans la répartition de 200 coureurs, les effectifs sont de 10 Français de moins de 25 ans, 30 Français de 25 ans ou plus, 20 étrangers de moins de 25 ans et 140 étrangers de 25 ans ou plus ; les totaux sont 40 Français, 160 étrangers, 30 coureurs de moins de 25 ans, 170 de 25 ans ou plus et 200 coureurs au total.

📖 2. Fréquences et fréquences conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fréquence : Quotient de l’effectif d’une valeur ou d’un couple de valeurs par l’effectif total de la population.
• Fréquence marginale : Quotient de l’effectif marginal d’une valeur d’un caractère par l’effectif total de la population.
• Fréquence conditionnelle : Quotient de l’effectif du couple par l’effectif marginal de la valeur fixée.

📝 Points essentiels

• Dans le tableau des 200 coureurs, les fréquences marginales sont 0,2 pour les Français et 0,85 pour les coureurs de 25 ans ou plus ; les fréquences conditionnelles sont 0,75 pour les 25 ans ou plus sachant que le coureur est français et environ 0,67 pour les étrangers sachant que le coureur a moins de 25 ans.

• La somme des fréquences d’un tableau rapportées à l’effectif global est égale à 1.

💡 Astuce mémo

La fréquence marginale rapporte au total ; la conditionnelle rapporte au total de la catégorie fixée.

📖 3. Probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : Si Card(A) n’est pas nul, la probabilité de B sachant que A est réalisé est $P_A(B)=\frac{\operatorname{Card}(A\cap B)}{\operatorname{Card}(A)}$.
• Intersection d’événements : Événement constitué des issues qui appartiennent à la fois à A et à B.
• Réunion d’événements : Événement constitué des issues qui appartiennent à au moins l’un des deux événements.
• Événement contraire : Événement constitué des issues de l’univers Ω qui ne sont pas dans A.
• Cardinal d’un événement : Nombre d’issues qui réalisent A.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour Card(A) non nul, la probabilité de B sachant A est $P_A(B)=\frac{\operatorname{Card}(A\cap B)}{\operatorname{Card}(A)}$.

📐 Formule - La probabilité conditionnelle de B sachant A se calcule par $P_A(B)=\frac{\operatorname{Card}(A\cap B)}{\operatorname{Card}(A)}$, à condition que Card(A) soit non nul.

Compléments

• Parmi les 40 coureurs français, 10 ont moins de 25 ans ; la probabilité qu’un coureur ait moins de 25 ans sachant qu’il est français est donc 10/40 = 0,25.

• Dans l’exemple des personnes vaccinées, la probabilité d’être immunisé sachant qu’on est vacciné est $P_V(I)=\frac{459}{510}=0{,}9$.

💡 Astuce mémo

Dans P_A(B), A est la condition et B l’événement évalué.

📖 4. Exploitation d’un tableau d’effectifs

★ À maîtriser

• Dans le tableau de l’activité, les effectifs sont 205 pièces en plastique provenant de A, 275 en plastique de B, 245 en aluminium de A et 275 en aluminium de B ; les totaux sont 480 pièces en plastique, 520 en aluminium, 450 pièces de A, 550 de B et 1 000 pièces au total.

Compléments

• Dans l’activité, 45 % des 1 000 pièces proviennent de A, soit 450 pièces.

• Dans l’activité, le nombre de pièces en plastique provenant de A est 205, obtenu en soustrayant les 245 pièces en aluminium de A des 450 pièces provenant de A.

📖 5. Événements et probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : L’intersection de deux événements A et B, notée A ∩ B, contient les issues qui appartiennent à la fois à A et à B.
• Réunion : Ensemble des issues qui appartiennent à au moins l’un des événements A ou B.
• Événement contraire : Ensemble des issues de l’univers Ω qui ne sont pas dans A.

★ À maîtriser

📐 Formule - La probabilité de la réunion de deux événements vérifie $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

Compléments

📐 Formule - Le cardinal de la réunion de deux événements vérifie $\operatorname{Card}(A\cup B)=\operatorname{Card}(A)+\operatorname{Card}(B)-\operatorname{Card}(A\cap B)$.

• Dans l’exemple des usines A et B, une pièce ne peut pas provenir simultanément des deux usines, donc A ∩ B = ∅ et P(A ∩ B) = 0.